极限求值

  简略重温极限,有时我们不能直接计算一个事物的值……可是我们可以去看看越来越接近它时的情形！

 例子：

  求 x=1 的值：

  0/0 不好做！没有人知道 0/0 是多少（它是 "不确定的"），所以我们要另辟蹊径,我们不直接求在 x=1 的值，我们 趋近 它来看看：

 例子（续）：

x		(x2 − 1)(x − 1)
0.5		1.50000
0.9		1.90000
0.99		1.99000
0.999		1.99900
0.9999		1.99990
0.99999		1.99999
……		……

  现在我们看到当 x 越来越接近 1 的时候，(x²−1)(x−1) 越来越接近 2,

  这很有趣：

• 在 x=1，我们不知道答案（它是 不确定的）
• 但我们也知道答案越来越接近 2

  我们想说： "答案就是 2"，但我们不能这样说，所以数学家用一个特别的名词来形容这个情况："极限"

当 x 趋近 1 时，(x²−1)(x−1) 的 极限 是 2

  用符号来写就是：

  这是用一个特别的说法来说： "不管在那里是什么，但 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"

在图上是这样的： 因此，实际上我们不能说在 x=1 时的值是多少。 但我们可以说："趋近 1 时，极限是 2。"

  极限求值"求值" 的意思是计算……的值,在上面的例子里，极限是 2，因为函数趋近 2。但这样说是不够的！其实有很多方法去求精确的答案。我们来看看其中几个：

  一、代入变量的值

  首先要尝试的方法是代入变量的值，来看看可不可以直接算出答案（换句话说，代换）。

  试试一些例子：

  在第一个例子里，代换法不管用，但在第二个例子里我们很容易得到答案。

  二、因式

  我们可以尝试因式分解。例子：,

  因式分解 (x²−1) 为 (x−1)(x+1)，我们得到：

  我们现在可以代入 x=1 来求极限：

  三、共轭
  若函数是个分数，把上面和下面乘以 共轭 可能会有帮助。

共轭是把 把两个项之间的正负号倒转：

  以下是一个用共轭来求极限的例子：

在 x=4，函数是 0/0，不太好！

  我们来重排一下：

上面和下面都乘以上面的共轭：
用 简化上面:
简化上面：
上面和下面消去 (4−x)：

  结果是：

  大功告成！

  四、在无穷大的极限和有理函数

有理函数 是两个多项式的比：
例如，在这里 P(x) = x3 + 2x − 1，Q(x) = 6x2：

  如果我们知道函数的次数,我们便可以知道函数的极限是 0、正无穷大、负无穷大或很容易地用系数计算出极限来。

  五、正式方法,正式方法是去证明可以把 "x" 无限接近 "a" 来无限接近答案。