余弦定理公式和余弦定理推导

  余弦定理对解三角形是非常有用的：

  这定理适用于任何三角形：

a、b 和 c 是三角形的边，C边 c的对角，

  我们举个例来看看：

 例子："c" 的长度是多少？

已知： C = 37º、a = 8 和 b = 11

余弦定理说：

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)

 

代入已知值：

c2 = 82 + 112 − 2 × 8 × 11 × cos(37º)

计算：

c2 = 64 + 121 − 176 × 0.798…

计算：

c2 = 44.44...

开平方：

c = √44.44 = 6.67 保留两位小数

答案：c = 6.67

  怎样去记这公式呢？公式其实是在 勾股定理 上多加一点，使其适用于所有的三角形：

勾股定理：		a2 + b2 = c2		（只适用于直角三角形）
余弦定理:		a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2		（适用于所有三角形）

  这样记：

  想英语字母 "abc"：a² + b² = c²,  再来一个 "abc"： 2ab cos(C),  放在一起：a² + b² − 2ab cos(C) = c^2，

  ^{在以下的情形，我们可以用余弦定理：}

  ^{已知三角形的两边和两边中间的夹角，求第三边（像上面的例子）}

  ^{已知三角形的三边，求其角度（如以下的例子）}

例子：角 "C" 是多大？

 长度为 "8" 的边的对角是 C，所以这边是 c。另外两条边是 a 和 b。把已知值代入余弦定理：

开始：

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)

代入 a、b 和 c：

82 = 92 + 52 − 2 × 9 × 5 × cos(C)

Calculate:

64 = 81 + 25 − 90 × cos(C)

  重排及解:

   每边减 25：         39 = 81 − 90 × cos(C)
  每边减 81：         −42 = −90 × cos(C)
  两边对调：         −90 × cos(C) = −42
  除以 −90：         cos(C) = 42/90
  取逆余弦：         C = cos-1(42/90)     
  用计算器：         C = 62.2° （保留一位小数）

  求角度的简易形式

  上面我们看到已知三边是怎样去求角度。我们用了几步来做，但其实用 "直接" 公式会比较简单（公式只不过是重排这公式： c² = a² + b² − 2ab cos(C) ）。公式可以有三个形式：

cos(C) = a² + b² − c²2ab

cos(A) = b² + c² − a²2bc

cos(B) = c² + a² − b²2ca

 例子：用余弦定理（角度形式）来求角 "C"

  已知三边：a = 8,  b = 6 和 c = 7。

  用余弦定理（角度形式）来求角 C：

cos C	= (a2 + b2 − c2)/2ab
	= (82 + 62 − 72)/2×8×6
	= (64 + 36 − 49)/96
	= 51/96
	= 0.53125
C	= cos-1(0.53125)
	= 57.9° 保留一位小数

  a、b 和 c 的形式

  你也可以重写 c² = a² + b² - 2ab cos(C) 公式为 "a²=" and "b²=" 的形式。

  以下是这三个形式：

  但最容易是记着 "c²=" 的形式，然后在应用时用不同的字母！

  如下：

 例子：求长度 "z"

  字母不同！没关系。我们可以以 x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c

开始：

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)

x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c

z2 = x2 + y2 − 2xy cos(Z)

代入已知值：		z2 = 9.42 + 6.52 − 2×9.4×6.5×cos(131º)
计算：		z2 = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...)
		z2 = 130.61 + 80.17……
		z2 = 210.78……
		z = √210.78…… = 14.5 保留一位小数

  答案：z = 14.5

  留意到 cos(131º) 是负数吗？这把最后的正负号变成 +（正）号了。钝角的余弦一定是负数（见 单位圆）。