正弦定理公式和正弦定理教案

  正弦定理（或称正弦定律）对解三角形非常有用：

  它适用于任何三角形：

a、b 和 c 是边，A、B 和 C 是角（边 a 对着 角 A、边 b 对着 角 B，边 c 对着 角 C）。，

  定理说：
  边 a 的长度 除以 角 A 的正弦，等于 边 b 的长度 除以 角 B 的正弦,，也等于 边 c 的长度 除以 角 C 的正弦，

  好，我们用一个三角形来计算一下：

答案都差不多是相同的！（若我们的计算有完全的准确度，答案便会是完全相同的）。

  你可以看到：

  举个例看看：

 例子：求 边 "c" 的 长度，

正弦定理		a/sin A = b/sin B = c/sin C
代入已知值：		a/sin A = 7/sin(35°) = c/sin(105°)
拿走 a/sin A （在这里没用）：		7/sin(35°) = c/sin(105°)
用代数来重排及解：
换边：		c/sin(105°) = 7/sin(35°)
每边乘以 sin(105°)：		c = ( 7 / sin(35°) ) × sin(105°)
计算：		c = ( 7 / 0.574…… ) × 0.966……
计算：		c = 11.8 （保留一个小数位）

  求未知角度
  在上面的例子，我们求未知边长，但我们也可以用正弦定理来求未知角度，求角度时，最好把分数倒转（把 a/sin A 变成 sin A/a，等等）：

 例子：求 角B

开始：		sin A / a = sin B / b = sin C / c
代入已知值：		sin A / a = sin B / 4.7 = sin(63°) / 5.5
拿走 "sin A / a"：		sin B / 4.7 = sin(63°) / 5.5
每边乘以 4.7：		sin B = (sin(63°)/5.5) × 4.7
计算：		sin B = 0.7614……
反正弦：		B = sin-1(0.7614……)
		B = 49.6°

  我们要注意一个微妙的细节：可能有两个答案。

  假设我们知道 角 A 和 边 a 与 b，我们可以把边 a 放在左边或右边（如图），从而得到两个结果（一个小三角形和一个大三角形）两个答案都是对的！

  这只会在 "两边和非 夹角" 的情形发生，亦不会一定发生，但我们仍然需要留意，想：我可以把那条边放到另一边来得到另一个正确的答案吗？

例子：求角R

  这三角形用不同的标志：PQR 而不是 ABC。没关系，就在正弦定理用 P、Q 和 R 就行了。

  慢着！还有另外一个角的正弦是等于 0.9215…… 的！计算器不会给你这个答案，但 sin(112.9°) 也是等于 0.9215……那么，我们怎样得到 112.9°这个答案？其实很简单……把 67.1°从 180°减去，像这样：180° - 67.1° = 112.9°

  故此，R 可以有两个答案： 67.1°和 112.9°：

  两个都是对的！每个三角形都有 39°的角及 41 和 28 长的边，所以，一定要记得去检查，看看可不可以有另一个答案。

  有时候会有两个答案（如上）
  有时候只有一个答案（如下）

  我们以前也看过这个三角形，你可以尝试把 "5.5" 长的边放到右边，但这样不会形成一个符合给定条件的三角形，所以也不会导致一个合理的答案，故此，这算题只有一个答案。