相似三角形定理

  一、平行线截比例线段定理

  设 ADE 为任何三角形，而线段BC 平行于 DE，则 AB/BD = AC/CE，

  要证明这个定理，画线段BF 平行于 AE 来形成平行四边形BCEF：

  三角形 ABC 和 BDF 有相等的角，所以是相似三角形（为什么？去相似三角形的判定看 AA 的部分。）

  边AB 对应边BD，边AC 对应边BF，所以 AB/BD = AC/BF，而且 BF = CE，所以 AB/BD = AC/CE，

  角平分线定理

  设 ABC 为任何三角形，而AD 平分角BAC，则 AB/BD = AC/DC

  要证明这个定理，可以这样标记三角形：

  角BAD = 角DAC = x°，角ADB = y°，角ADC = (180 - y)°，

  在三角形 ABD上运用正弦定理：sin x°/BD = sin y°/AB，所以 AB × sin x° = BD × sin y°，

  所以：

  AB/BD = sin y°/sin x°，AB/BD = sin y°/sin x°，

  在三角形 ACD上运用正弦定理：sin x°/DC = sin(180 - y)°/AC，所以 AC × sin x° = DC × sin(180 - y)°，所以 AC/DC = sin(180 - y)°/sin x°，因为 sin(180 - y)° = sin y°，所以：AC/DC = sin y°/sin x°，把 AC/DC = sin y°/sin x° 与 AB/BD = sin y°/sin x° 拼合：AC/DC = sin y°/sin x° = AB/BD，所以 AB/BD = AC/DC

  如果三角形ABC 是等腰三角形，三角形ABD 和 ACD 便是全等三角形，

  结果是一样的：AB/BD = AC/DC

  三、面积与相似，若相似三角形的边比例是 x：y，则它们的面积比例是 x²：y²

  例子：这两个相似三角形的边比例是 2：1（一个三角形的边是另一个的两个倍）：

  那么它们的面积呢？如果我们多画三条线，答案就浅而易见：

  我们可以看到可以有四个小三角形放在大三角形里,因此，如果长度是两倍，面积便是四倍,面积的比是 4：1,4：1 也可以写成 2²：1,

 

  一般情况：

  三角形ABC 和 PQR 是相似的，它们的边比例是 x：y

  我们可以用求非直角三角形的面积页面里的公式来求面积,

ABC 的面积 = ½bc sin A

PQR 的面积 = ½qr sin P

  三角形长度的比是 x：y

q/b = y/x，所以 q = by/x

r/c = y/x，所以 r = cy/x

  因为是相似三角形，所以角A 和 P 相等：A = P

  现在来计算：

三角形PQR 的面积：		½qr sin P
代入 "q = by/x"、"r = cy/x"、"P=A":		½(by/x)(cy/x) sin A
拼合 (by/x) 和 (cy/x)：		½(bycy/xx) sin A
简化：		½(bcy2/x2) sin A
重排：		y2/x2 × ½(bc) sin A
就是：		y2/x2 × 三角形ABC 的面积

   重排后得到的比例是：三角形ABC 的面积：三角形PQR 的面积 = x² ： y²