解SSS三角形和三角形SSS判定

  "SSS" 的意思是 "(S)ide, (S)ide, (S)ide"（英语 "Angle" 的意思是 角，"Side" 的意思是 边）

 

   "SSS" 的意思是我们知道三个边长，而想求 位知的角度。
  解 SSS 三角形：
  先用 余弦定理 来求其中一个角，然后再用余弦定理来求另一个角，最后用 三角形内角的和是 180° 来求最后一个角。

  用 "角e" 的形式的余弦定理：

cos(C) = a² + b² − c²2ab

cos(A) = b² + c² − a²2bc

cos(B) = c² + a² − b²2ca

（以上全是相同的公式，只不过标志不同）

  例 1

  在这个三角形，我们知道三条边：a = 8，b = 6，c = 7。

  用余弦定理来求其中一个角。随便哪一个都可以。我们先求 角 A：

  接下来，我们用另一条边来求另一个角，这里我们再用余弦定理来求 角 B：

  最后，我们用"三角形内角的和是 180°"来求 角 C：

  C = 180° − 75.5224……° − 46.5674……°

  C = 57.9° 准确到1个小数位

  三角形解了――我们知道所有的角度和边长了。

  三角形可以可以用其他的英语字母而不用 ABC：

例 2

  这个也是 SSS 三角形，在这三角形我们知道三条边：x = 5.1、y = 7.9 和 z = 3.5。先用余弦定理来求 角 X：

  cos X = (y² + z² − x²)/2yz

  cos X = ((7.9)² + (3.5)² − (5.1)²)/(2×7.9×3.5)

  cos X = (62.41 + 12.25 − 26.01)/55.3

  cos X = 48.65/55.3 = 0.8797……

  X = cos⁻¹(0.8797……)

 X = 28.3881……°

  X = 28.4° 准确到1个小数位

  再用余弦定理来求 角 Y：

  cos Y = (z² + x² − y²)/2zx

  cos Y = −24.15/35.7 = −0.6764……

  cos Y = (12.25 + 26.01 − 62.41)/35.7

  cos Y = −24.15/35.7 = −0.6764……

  Y = cos⁻¹(−0.6764……)

  Y = 132.5684……°

  Y = 132.6° 准确到1个小数位。

  最后，用 "三角形内角的和是 180°" 来求求 角 Z：

  Z = 180° − 28.3881……° − 132.5684……°

  Z = 19.0° 准确到1个小数位，

  另一个方法，这是另一个（快一点的）方法来解 SSS 三角形:先用 余弦定理 来求 最大的角，然后用 正弦定理 来求另一个角，最后用 三角形内角的和是 180° 来求最后的角。

  最大的角？

  为什么要先求最大的角？因为若是这样，其他的两个角便一定是锐角（小于 90°），而正弦定理便会算出正确的答案。

  正弦定理若角是大于 90°， 便会相当难用。可能有大于和小于 90°的两个答案（例如：95° 和 85°），但计算器只能算出小的答案。

  故此，若我们先用余弦定理来求最大的角，剩下的两个角便一定是小于 90°，用正弦定理来求便会简单一些。

  例3

  B是最大的角，所以先用余弦定理来求B：

  cos B = (a² + c² − b²) / 2ac

  cos B = (11.6² + 7.4² − 15.2²) / (2×11.6×7.4)

  cos B = (134.56 + 54.76 − 231.04) / 171.68

  cos B = −41.72 / 171.68

  cos B = −0.2430……

  B = 104.1° 准确到1个小数位，

  用正弦定理，sinC/c = sinB/b 来求角 A：

  sin C / 7.4 = sin 104.1° / 15.2

  sin C = 7.4 × sin 104.1° / 15.2

  sin C = 0.4722……

  C = 28.2° 准确到1个小数位

  用 "三角形内角的和是 180" 来求角 A：

  A = 180° − (104.1° + 28.2°)

  A = 180° − 132.3°

  A = 47.7° 准确到1个小数位

  So A = 47.7°、B = 104.1° 和 C = 28.2°