复利的计算是先计算第一期的利息,把利息加到本金上,然后用新的本金计算下一期的利息,就这样重复下去:
加 10% 利息是等于乘以 1.10(去这里了解更多)
运算是这样的:
这样乘 5次,我们就可以用指数(幂)来直接计算第五年的金额:
公式
这是复利的公式(如上,不过改用字母表达):
现值 PV = ¥1,000
利率是 10%,用小数表示是 r = 0.10
期数 n = 5
我们可以用这个公式做不同的计算,例如利率为 6%:
现值 PV = ¥1,000
利率是 6%,小数是 r = 0.06
期数 n = 5
有时候利率是年利率…………但一年里计算多次利息,每次的利息都加到本金上…………所以一年内也有复利计算.
例子:"10%,半年复利"
半年复利就是一年算两次复利。所以 10% 要分开两半:
但每次都是复利(利息加到本金上):
一年后的金额是 ¥1,102.等于 10.25%,而不是 10%
对了,有两个年利率:
例子 | ||
10% | 名义利率(声明的利率) | |
10.25% | 有效年利率(计算复利后的利率) | |
有效年利率是实际的利率! |
当复利在一年内计算时,有效年利率便高于名义利率。
高多少跟利率的大小和一年内计算复利的次数有关。
我们现在来导出一个有效年利率的公式,如果我们知道:
我们把利率(例如 10%)分开为 "n" 期来计算复利。
用上面的复利公式我们可以计算 "n" 期的复利:
FV = PV (1+r)n
但是,利率不是 "r",因为要把年利率分开成 "n" 期,像这样:
r / n
复利公式变成:
这是定期复利的公式:
FV = PV (1+(r/n))n
其中 FV = 终值
PV = 现值
r = 年利率
n = 期数
用上面 "10%,半年复利" 的例子来试试:
FV = ¥1,000 (1+(0.10/2))2 = ¥1,000(1.05)2 = ¥1,000 × 1.1025 = ¥1,102.50
这个管用!但我们也需要知道新的利率。我们不想用货币来表达,所以拿走货币符号:
(1+(r/n))n = (1.05)2 = 1.1025
减掉 1 就是利率(0.1025 = 10.25%):
(1+(r/n))n − 1 = 0.1025 = 10.25%
因此,公式是:
有效年利率 = (1+(r/n))n − 1
r = 0.07(7% 的小数)
n = 4
所以:
FV = PV (1+(0.07/4))4
FV = PV (1+(0.07/4))4
FV = PV (1.0719……)
有效年利率是 7.19%
你需要记住:
把年利率分开为 "n"期 | r / n |
---|---|
计算 "n" 次复利: | (1+(r/n))n |
不要忘了减掉 "1" | (1+(r/n))n − 1 |
这是一些数值例子。留意当利率小时,复利没有多大影响,但当利率大时,复利的效果就很大。
复利 | 计算期 | 1.00% | 5.00% | 10.00% | 20.00% | 100.00% | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
年 | 1 | 1.00% | 5.00% | 10.00% | 20.00% | 100.00% | |
半年 | 2 | 1.00% | 5.06% | 10.25% | 21.00% | 125.00% | |
季 | 4 | 1.00% | 5.09% | 10.38% | 21.55% | 144.14% | |
月 | 12 | 1.00% | 5.12% | 10.47% | 21.94% | 161.30% | |
日 | 365 | 1.01% | 5.13% | 10.52% | 22.13% | 171.46% | |
... | …… | ||||||
连续 | 无穷 | 1.01% | 5.13% | 10.52% | 22.14% | 171.83% |
对!当复利计算期越来越小(时、分等),最后就会趋近一个极限。我们甚至可以算出一个连续复利的公式:
连续复利公注意: e=2.71828……是欧拉数。
连续复利,年利率 20%: e0.20 − 1 = 1.2214…… − 1 = 0.2214……
应用
知道怎样计算有效年利率的公式(定期或连续)后,我们便可以做任何正常的复利计算了。
连续复利 8%是:e0.08 − 1 = 1.08329…… − 1 = 0.08329……
就是 8.329%
我们要做 2年的计算(见复利):
FV = PV × (1+r)n
FV = ¥10,000 × (1+0.08329)2
FV = ¥10,000 × 1.173511... = ¥11,735.11
有效年利率 = (1+(r/n))n − 1 |
其中:
|
.