泰勒级数是把一个函数展开来显示的无穷级数，像这些：

   近似值

   你可以用泰勒级数的头几项来估计函数的近似值。

   这里是越来越准确的 cos(x) 近似值。红线是 cos(x)，蓝线是近似值（自己画图来看看）：

 

1 − x2/2!

1 − x2/2! + x4/4!

1 − x2/2! + x4/4! − x6/6!

1 − x2/2! + x4/4! − x6/6! + x8/8!

（你可以在 复数的欧拉公式 看到更多泰勒级数的用法。）

  背后的理念是什么？

  为什么可以把一个函数变成幂的级数？

  你想得到这个：

f(x) = c₀ + c₁(x-a) + c₂(x-a)² + c₃(x-a)³ + ……

   选一个 "a" 的值来求这些： c₀、c₁、c₂、等等……

   这是用导数算出来的……

   简短回顾：导数告诉我们函数在任何一点的坡度。

   你需要知道函数 f(x) 的导数和这些 导数基本规律：

• 常数 的导数是 0
• x 的导数是 1
• xⁿ 的导数是 nx^n-1 （例子：x³ 的导数是 3x²)

   我们用这个符号 ’ 来代表 "的导数"。

   好，开始：

   求 c₀：以 x=a，所有 (x-a) ，剩下的是：

f(a) = c₀ 的项都等于零

所以 c₀ = f(a)

求 c₁：取f(x) 的导数：

f’(x) = c₁ + 2c₂(x-a) + 3c₃(x-a)² + ……

设 x=a，所有 (x-a) 的项都是零：

f’(a) = c₁

所以 c₁ = f’(a)

求 c₂：再取导数：

f’’(x) = 2c₂ + 3×2×c₃(x-a) + ……

设 x=a，所有 (x-a) 的项都等于零：

f’’(a) = 2c₂

所以 c₂ = f’’(a)/2

  看到规律了吗？每项是

• 高一个阶的导数……
• ……除以在这项以下所有的指数的积（我们可以用 阶乘记号 来写，例如 3! = 3×2×1）

   结果是：

   这便是求泰勒级数每一项的规律：取导数，除以 n!。

 例子：cos(x) 的泰勒级数

  我们只需要知道：

• cos(x) 的导数是 -sin(x)
• sin(x) 的导数是 cos(x)

  以 a=0：

• c₀ = f(0) = cos(0) = 1
• c₁ = f'(0)/1! = -sin(0) = 0
• c₂ = f''(0)/2! = -cos(0)/2! = -1/2!
• c₃ = f'''(0)/3! = sin(0)/3! = 0
• c₄ = f''''(0)/4! = cos(0)/4! = 1/4!
• 等等……

  所有奇项都是零，所以：

cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! −……

  你自己用 sin(x) 来试试！

  你也可以用其他的函数，重点是你需要知道函数 f(x) 的导数是什么。

  注意：麦克劳林级数 是 a=0 的泰勒级数。我们上面的例子都是 麦克劳林级数。