e欧拉数|e在复利计算里的应用

数字 e 是个有名的无理数，它是数学里最重要的数字之一。
首几个数位是：2.7182818284590452353602874713527（无穷继续……）
e 是自然对数的底（由约翰·纳皮尔发明）。
e 出现在很多数学领域里，所以了解它是很有用的。

计算:

有很多计算 e 的值的方法，但没有方法可以算出绝对精确的值，因为 e 是个无理数（不是两个整数的比）。

但我们知道它精确到一万亿个小数位的值！

例如，当 n 越来越大时，(1 + 1/n)n 的值越来越趋近 e：

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100,000	2.71827

 

另一个算法

e 也等于 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ……（注意："!" 的意思是 阶乘）

首几项的和是：1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2.718055556 你可以去综合计算器试试。

巧记

要记住 e 精确到十位小数的值，记住这个英语句子（数每个单词有几个字母）：

• this

• To

• express

• e

• remember

• to

• memorize

• a

• sentence

• to

• simplify

• this

你也可以记住在 "2.7" 后，"1828" 连续出现两次：2.7 1828 1828，

然后就是等腰直角三角形的内角 45°、90°、45°：2.7 1828 1828 45 90 45（记得 e 的值是个很了不起的成就！）

有趣的属性

尝试 "分开然后相乘"

假设把一个数分成相等的部分，然后把所有部分相乘。

例子：把 20 分开为 4份，然后把它们相乘：

每 "份" 是 20/4 = 5

5×5×5×5 = 5⁴ = 625

……问题是，每个部分要多大才可以得到最大的乘积？

最接近 "e" 的数值的乘积最大，这数值是 2.5。

自己来试试，比方用 100 …… 答案是多少？

高级：e 在复利计算里的应用

e 时常在意料不到的地方出现。

例如，计算借贷和投资的连续复利时，需要用到 e：

连续复利公式

为什么？

定期复利的公式是：

FV = PV (1+r/n)ⁿ

其中 FV = 终值
PV = 现值
r = 年利率（以小数表示）
n = 期数

期数越来越大时会怎么样？

留意下面两个公式的相似之处：

(1+r/n)n	和	(1 + 1/n)n
复利公式		e（当 n 趋近无穷大）

代入 x = n/r ：

• r/n 变成 1/x，

• n 变成 xr

所以：

(1+r/n)n

变成

(1+(1/x))xr

这就是e 的公式（当 n 趋近无穷大时）加上一个指数 r。

因此，当 x 趋近无穷大时，(1+(1/x))^xr 趋近 e^r

这就是为什么 e 出现在利息计算里！

超越数

e 也是个超越数 。