首先，你一定见过这个著名的方程：

这个方程真的很奇妙，因为它集合了：

e （欧拉数）
i （单位 虚数)
π （大名鼎鼎的 pi，一个在很多不同领域都出现的数）
0 和 1（也是不凡的数！）

欧拉公式

这方程其实源自欧拉公式：

eix = cos x + i sin x

以 x = π，我们得到：

故此，e^iπ + 1 = 0 只不过是更有用的欧拉公式的一个特例。

发现

在大约公元1740年时，数学家都对 虚数很有兴趣。

虚数的平方是负数

通常这是不可能的（试试去取任何数的平方，记着负负得正），但想象你可以做得到，并叫这个数为 i（英语字“imaginary”（想象）的第一个字母），然后看看会有什么发生：

i² = -1

有一天，欧拉在用虚数玩耍（！），他拿这个泰勒级数 （在当时已经发现了）：

他把 i 代进去：

因为 i² = -1，级数简化成：

把含有 i 和没有 i 的项分开，我们得到：

奇迹出现……

第一组是 cos 的 泰勒级数      
第二组是 sin 的泰勒级数

                                                                           

故此：

 

例子：当 x = 3

答案是实数与虚数的组合，叫 复数。

我们甚至可以在 复数平面 画出这个数（实数从左到右，虚数从下到上）：

在这图我们显示 −0.990 + 0.141 i 这个复数这数也是 e³ⁱ

圆形！

把欧拉公式放到图上便会形成一个圆形：

e^ix 形成一个半径是 1 的圆形

我们可以把任何点（例如 3 + 4i）变成 re^ix 的格式（只需找到 x 的值和圆形的半径，r）

例子：3 + 4i

把这复数转换为 re^ix的格式，我们要转换笛卡尔坐标为极坐标：

• r = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
• x = tan^-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 （保留三位小数）

所以 3 + 4i 也可以是 5e^0.927 i

在很多情况下，用re^ix这个格式（例如乘法）比用 a+bi 容易

最后，这个点是 e^iπ（刚才在页顶讲的）：

e^iπ = −1