有两个主要系统用来在地图或图表中准确定位：

   笛卡尔坐标系

   在笛卡尔坐标系中，一点是用向右和向上的距离来定位的：

   极坐标系

    在极坐标系中，一点是用离中点的距离和角度来定位的：

    转换

    从一个系统转换到另一系统，我们用这个三角形：

   笛卡尔坐标转换为极坐标

   当我们知道一点的笛卡尔坐标(x,y)想转换成极坐标(r,θ)，我们需要解一个有两条已知边的直角三角形。

   例子： (12,5) 的极坐标是什么？

   用勾股定理去计算长的一边（斜边）：

   用正切函数去计算角度：

   答案：(12,5) 的极坐标是 (13, 22.6°)。
   

  什么是 tan^-1？

  反正切函数：    
 

• 正切 已知一个角度为变量数得到一个比例，
• 反正切 已知一个比例 （像 "5/12"）得到一个角度。

   所以，笛卡尔坐标 (x,y) 转换为极坐标 (r,θ):

• r = √ ( x² + y² )
• θ = tan^-1 ( y / x )

   注意：当 x 或 y 是负数时，计算器可能得到错误的 tan^-1 () 的值……继续看下去。

   极坐标转换为笛卡尔坐标

   当我们知道一点的极坐标(r, θ)，想转换为笛卡尔坐标(x,y)，我们需要解一个有已知斜边和角度的直角三角形：

   例子：(13, 22.6°)的笛卡尔坐标是什么？

   用 x 的 余弦函数：         cos( 22.6 °) = x / 13
   重排及解：         x = 13 × cos( 22.6 °)
          x = 13 × 0.923
          x = 12.002...
           
   用 y 的 正弦函数：         sin( 22.6 °) = y / 13
   重排及解：         y = 13 × sin( 22.6 °)
          y = 13 × 0.391
          y = 4.996……

   答案： (13, 22.6°) 的笛卡尔坐标是差不多 (12, 5)。

   所以，极坐标 (r,θ) 转换为笛卡尔坐标(x,y)：

• x = r × cos( θ )
• y = r × sin( θ )

    但如果 X 和 Y 是负数呢？

    四象限

   要考虑负数时，注意到x轴和y轴把平面空间分为4 个部分：象限 I、II、III和IV（逆时钟方向排列）

   当由极坐标转换为笛卡尔坐标时这很合适：

例子：(12, 195°) 的笛卡尔坐标是什么？

   r = 12 和 θ = 195°

• x = 12 × cos(195°)
  x = 12 × -0.9659...
  x = −11.59 to 2 decimal places
• y = 12 × sin(195°)
  y = 12 × -0.2588...
  y = −3.11 精确到两位小数

    坐标是 (−11.59, −3.11)，是在象限 III

   可是，当笛卡尔坐标转换为极坐标时。。。。。。。。。。。。计算器可能会为 tan^-1

    得到错误的值

象限	tan-1的值
I	用计算器的值
II	用计算器的值加上 180°
III	用计算器的值加上 180°
IV	用计算器上的值 加上 360°

 

例子：P = (−3, 10)

  P 是在象限 II里

• r = √((−3)² + 10²)
  r = √109 = 10.4 精确到一位小数                              
• θ = tan^-1(10/−3)
  θ = tan^-1(−3.33...)

  tan^-1(−3.33...) 的值是 −73.3°

   所以 (−3, 10) 的极坐标是 (10.4, 106.7°)

 例子：Q = (5, −8)

  Q 是在 象限 IV                     

• r = √(5² + (−8)²)
  r = √89 = 9.4 精确到一位小数                    
• θ = tan^-1(−8/5)
  θ = tan^-1(−1.6)

   计算机得到 tan^-1(−1.6) 的值是 −58.0°

   所以 (5, −8) 的极坐标是 (9.4, 302.0°)

   总结

 

   极坐标 (r,θ)转换 为 笛卡尔坐标 (x,y)：

• x = r × cos( θ )
• y = r × sin( θ )

   笛卡尔坐标 (x,y)转换 为 极坐标 (r,θ):

• r = √ ( x² + y² )
• θ = tan^-1 ( y / x )

   tan^-1( y/x ) 可能需要调整：

• 象限 I: 用 计算器的值
• 象限 II: 加 180°
• 象限 III: 加 180°
• 象限 IV: 加 360°