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圆方程

时间:2020-10-09 13:50:45

圆形方程有两种。他们是

1.圆的标准方程

2.圆的一般方程

圆的标准方程

如果我们知道圆的半径和中心的坐标,则可以在坐标平面中写一个圆的方程。假设圆的半径为r,中心为(h,k)。 

令(x,y)为圆上的任意点。(x,y)与(h,k)之间的距离为r。

 20201009134558.png

因此,我们可以使用距离公式。

20201009134724.png

将两边平方,以找到半径为r且中心为(h,k)的圆的标准方程式。

20201009134805.png

如果中心是原点,则(h,k)=(0,0)

因此,标准方程为

x 2  + y 2   = r 2

圆的一般方程

下面给出的方程是圆方程的一般形式。

x 2  + y 2  + 2gx + 2fy + c = 0

中心=(-g,-f)

半径=   √[g 2  + f 2  -c]

编写圆的标准方程

范例1: 

编写以(-4,0)为中心,半径为7的圆的标准方程式。

解决方案: 

圆的标准方程。 

(x-h)2  +(y-k)2   = r 2

塞(h,k)=(-4,0)和r = 7。

[x-(-4)2 ] +(y-0)2   = 7 2

简化。 

(x + 4)2 + y 2   = 49

范例2: 

写出一般方程为的圆的标准方程

X 2  + Y  - 4X + 6Y - 12 = 0

解决方案: 

为了找到圆的标准方程,我们需要知道中心和半径。 

让我们从给定的圆的一般方程式中找到中心和半径。 

比较中 

x 2  + y 2  + 2gx + 2fy + c = 0

X 2  + Y 2 - 4X + 6Y - 12 = 0,

我们有 

2g =-4 -----> g = -2

2f = 6  -----> f = 3

c = -12

中心=(-g,-f)=(2,-3)

半径=√[g 2  + f 2  -c]

半径=√[(-2)2  + 3 2  -(-12)]

半径=   √[4  + 9  + 12]

半径=√25

半径= 5

圆的标准方程: 

(x-h)2  +(y-k)2   = r 2

塞(h,k)=(2,-3)且r = 5。

(x-2)2  + [y-(-3)2 ] = 5 2

简化。 

(x-2)2  +(y + 3)2   = 25

例子3: 

点(1,2)在以(5,-1)为中心的圆上。写出圆的标准方程。

解决方案: 

为了找到圆的标准方程,我们需要知道中心和半径。 中心已经给出,我们需要找到半径。

使用距离公式,我们有

半径=   √[(5 - 1)2 +( - 1 - 2)2 ]

半径=√[4 2  +(-3)2 ]

半径=√[16 + 9]

半径=√25

半径= 5

圆的标准方程: 

(x-h)2  +(y-k)2   = r 2

塞(h,k)=(5,-1)且r = 5。

(x-5)2  + [y-(-1)2 ] = 5 2

简化。 

(x-5)2  +(y + 1)2   =   5 2

画圆

如果知道圆的方程,则可以通过标识圆的中心和半径来绘制圆的图形。 

范例: 

圆的方程是 

(x + 2)2  +(y-3)2   = 9

画出圆圈。 

解决方案:

要绘制圆图,我们需要知道圆的半径和中心。

重写方程式以找到中心和半径。 

(x + 2)2  +(y-3)2   = 9

[x-(-2)2 ] +(y-3)2   = 3 2

因此,中心为(-2,3),半径为3。 

要绘制圆图,请将指南针的点放在(-2,3),将半径设置为3个单位,然后旋转指南针以绘制一个完整的圆。

20201009134901.png

应用圆图

范例:

在舞台上布置了一排灯。每盏灯照亮舞台上的圆形区域。使用坐标平面以舞台的角点为原点来布置灯光。方程  (x-13)2  +(y-4)2   = 16表示光碟之一。 

(i)绘制光碟图。 

(ii)三个演员的位置如下: 

亨利(11,4)

乔琳(8,5)

马丁(15,5)

光碟里有哪些演员? 

解决方案: 

解决方案(2): 

要绘制光碟图,我们需要知道圆的中心和半径。

重写方程式以找到中心和半径。 

(x-13)2  +(y-4)2   = 16

(x-13)2  +(y-4)2   = 4 2

因此,中心为(13,4),半径为4。 

圆心为(13,4),半径为4的圆,如下所示(光碟图)。

20201009134945.png

解决方案(2): 

上图显示亨利和马丁都在光碟中。

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