沙漠步行攻略三角法与用极坐标

  摔机！
  沙漠步行飞机 如果你还不认识翠翠，你应该先去做 沙漠步行 这个活动。

  翠翠在沙漠摔机着陆了,但她想到一个巧妙的计划去找最近的村落：

  从飞机拿 一瓶水和一个罗盘，
  然后向北走 1 km， 转方向， 向东走 2 km，再向南 3 km，向西 4 km，向北 5 km，向东 6 km，……像这样：

  这样无论目前在哪个方向，她一定会找到村落，还（希望）可以回到飞机去拿水，如需要的话。

  先从北方计量
  顺时针方向计量
  计量方位到三位（或多过三位，如果有小数点）
  可是，如果她找不到村落，每隔数小时她需要回到飞机去休息和拿水。

  活动：沙漠步行计算了步行的距离。

  现在我们来寻找 方向。

  从 A 点回到飞机她只需折会重走，所以她向南走。如果她在 B 点呢？ 她要向哪个方向走才能回到飞机？我们以前看过这三角形：

  我们计算了距离 OB = √5 km要找方向，我们需要计算一个 角度, 像角度 ABO，在以下的图标志为 θ：

  找角度 θ 的大小，我们需要用 三角法

  我们知到三边的长度，但用整数比较容易，所以我们用对边 AO = 1 和邻边 AB = 2. SOHCAHTOA 告诉我们去用切线 （Tangent）：

  tan(θ) = opposite/adjacent （对边/邻边）= 1/2 = 0.5
  在计算器上摁 tan-1 鈕或 atan 钮：

  θ = 26.6°
  角度是 26.6°

  那是什么方向？

这角度是在南与西之间，较近西。 就叫西南偏西吧。 可是这不太准确。翠翠回不到飞机了！ 在这情况下可能不重要，因为 B 离飞机不远，她可能可以看到飞机。 但是在其他地方就需要准确很多了.

我们要用 三位方位角。 什么是三位方位角？ 三位方位角是比罗盘方位准确很多的另外一个表达方向的方法，它有独特的计量方法： 从北开始计量 顺时针方向计量 用三位（或更多，如果有小数）有效数字来表达方位 飞行员和舵手用三位方位角。

 例子

  东、南、西、北四个主要方向是 90° 的倍数：

  东是 090° 而不是 90° 因为要用三位数字。

  三位方位角的好处是每一个方向都有独特的描述：

  最后那个有四位数字（小数点前三个，小数点后一个），但这仍叫三位方位角， .4 部分只是更准确。

  现在来比较这例子和翠翠回飞机（O）需要走的方向：

  两个方向是一样的 243.4° 和 我们刚才得到的 26.6° 有什么关系？这很容易： 270° - 26.6° = 243.4°

  轮到你了
  你可以开始填下面的列表，填到 E 点 （我们将会用另一个方法来算点 F 到 J)。（注意:距离是在 沙漠步行里计算的）。用直角三角形来帮你计算翠翠需要走回飞机（O）的方向的三位方位角：

点	总共走的 距离	距离 O 的 直线距离	回到 O 到 三位方位角
O	0	0	不适用
A	1	1	180°
B	3	√5	243.4°
C	6
D
E

  用极坐标
  在 沙漠步行中，我们用 笛卡儿坐标 来计算从 O 的直线距离：

  用 笛卡儿坐标 表示一点，你用点向右和向上的距离：

  但是你也可以用另一个坐标，叫 极坐标。用 极坐标 形容一点，你用离原点的距离和角度：

  在笛卡儿坐标， (12, 5) 这点与在极坐标的 (13, 22.6°) 这点是同一点。我们就是要这样！翠翠需要走的 距离 和 方向 。从笛卡儿坐标的 (x,y) 转变为极坐标的 (r,θ)：

r = √( x2 + y2 )

θ = tan-1 ( y / x )

  我们来再计算 B 点。 x = 2 和 y = 1，所以:

r = √( x2 + y2 )= √( 22 + 12 )= √( 4 + 1 )= √5

θ = tan-1 ( y / x ) = tan-1 ( 1/2 ) = 26.6°

  B 点的极坐标是 (√5, 26.6°)

  但三位方位角究竟是什么？

基于点所在的 象限 ，有一条简单的规则：     在象限 I、 I 和 III （B, F, J, E, I, D 和 H 点）， 把 270° 减去角度     象限 IV （C 和 G 点）， 把 630° 减去角度 （是 630°，不是 360°）

 
  你现在应该可以完成以下的列表了:

点	r 的值	θ 的值	极坐标	回到 O 的 三位方位角
O	0	0°	(0, 0°)	不适用
A	1	90°	(1, 90°)	180°
B	√5	26.6°	(√5, 26.6°)	243.4°
C
D
E
F
G
H
I	√41	128.7°	(√41, 128.7°)	141.3°
J

  B 点 （在象限 I）， θ = 26.6°，三位方位角是 270° - 26.6° = 243.4°
  再做另一点：
  I 点, x= -4 和 y = 5，所以：
  r = √( x2 + y2 )= √( (-4)2 + 52 )= √( 16 + 25 )= √41

  θ = tan-1 ( y / x ) = tan-1 ( 5/-4 ) = tan-1 (-1.25) = 128.7°

  I 是在象限 II，所以三位方位角是 270° - 128.7° = 141.3°