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直角三角形定理的证明和例子

时间:2020-09-26 20:20:37

直角三角形定理不过是毕达哥拉斯定理其中指出斜边,底部和垂直的三角形之间的关系。根据该定理,如果任何直角三角形的斜边的平方等于底角和垂直角的平方和,则该三角形为直角三角形。它表示为:

如果斜边2 =垂直2 +底边2

∠θ = 90°

斜边是与直角(90度)相反的一侧,垂直是与直角相邻并与斜边相连的一侧,底边是与直角相邻的一侧,在此称为三角形的边。如果我们知道其他两个边的长度,则借助此公式,我们可以轻松找到直角三角形的边的长度。

该三角形也可以称为直角三角形。在此,只有一个角度为90度,其他三角形的总和等于90度,它们是锐角。直角三角形的底角和垂线可以互换,具体取决于我们考虑的锐角。底边,垂直边和斜边这三个边称为毕达哥拉斯三元组,如果所有三个边都是整数,则三角形称为毕达哥拉斯三角形

直角三角形定理的证明

定理:在三角形中,如果一侧的平方等于另一侧的平方之和,则与第一侧相对的角为直角。

证明:  ∠B= 90 °

证明:我们有一个ΔABC  ,其中AC 2  = A 2  + BC 2

我们需要证明∠B= 90 °

为了证明上述内容,我霉造了一个三角形PQR  ,该三角形Q处成直角, 使得:

PQ  = AB  ,QR  = BC

从三角形PQR,我们有

PR 2  = PQ 2 + QR 2  (根据毕达哥拉斯定理,∠Q = 90 °

或,PR 2  = AB 2 + BC 2                             (根据构造)……(1)

我们知道;

AC 2  = AB 2 + BC                                   (给出)…………(2)

因此,AC = PR [根据式(1)和(2)]

现在,在ΔABCΔPQR中

AB  = PQ                                            (根据构造)

BC  = QR                                            (按构造)

AC  = PR                                            [以上证明]

因此,ΔABC≅ΔPQR                     (通过SSS同余)

因此,∠B  = ∠Q                     (转换技术)

但是,  ∠Q  = 90 °                                (根据构造)

因此,∠B  = 90 °   

因此定理被证明。

直角三角形公式

直角三角形公式由下式给出:

(斜边)2 =(邻边)2 +(对边)2

如果a,b和c是直角,底边和直角三角形的斜边,则;

2 = a 2 + b 2

或者我们也可以这样写:

c =√(a 2 + b 2

这意味着斜边等于底边和垂直边的平方和的根。

直角三角形的面积等于底边和高度或垂直方向乘积的一半。

A = 1/2 bxh

其中b是底边,h是垂直长度。

例子

1:角度∠PRQ=90°,RS垂直于PQ。证明QR 2 / PR 2  = QS / PS

解决方案:我们可以看到;

△PSR〜△PRQ

根据相似三角形的性质,我们有:

PR / PQ = PS / PR

或者也可以写成PR 2 = PQ.PS………。(1)

同样,我们有△QSR〜△QRP

所以我们有QS / QR = QR / QP

或者也可以写成

QR 2 = QP.QS                                                         ………..(2)

通过将等式(2)除以(1),我们可以得出:

QR 2 / PR 2 =(QP.QS)/(PQ.PS)  = QS / PS

因此,证明了。

2:如果测量斜边和底边的直角三角形分别为5cm和3cm。然后找到它的高度。

解决方案:通过直角三角形的公式,我们知道;

(斜边)2 =(邻边)2 +(对边)2

(5)2 =(3)2 +(垂直)2

25 = 9 +(P)2

16 =(P)2

P =  √16= 4厘米

因此,垂直长度为4厘米。

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