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坐标几何中的三角形面积-公式和示例

时间:2020-09-12 17:51:36

    在几何中,三角形是一个3面的多边形,具有3个边和3个顶点。三角形的面积是在二维平面上三角形覆盖的空间的度量。在本文中,让我们讨论什么是三角形的面积,以及用于在坐标几何中查找三角形的面积的不同方法。

查找三角形面积的方法

可以使用三种不同的方法找到三角形的面积。下面讨论了三种不同的方法

方法1

当三角形的底和高已知时。

三角形的面积,A = bh / 2平方单位

其中b和h分别是三角形的底边和高度。

方法2

当给出三角形的三个边的长度时,可以使用海伦公式找到三角形的面积

 因此,三角形的面积是使用以下等式计算的,

QQ图片20200912173034.png

其中a,b,c是三角形的边长,而s是半周长

 s的值可使用以下公式找到

QQ图片20200912173149.png

方法3

如果给出了三角形的顶点,则首先我们必须找到三角形的三个边的长度。可以使用距离公式找到长度。

已知坐标平面中的顶点时查找三角形面积的过程。

 我们假设一个三角形PQR,其坐标P,Q和R分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)。

trap.png

从图中,分别从Q,P和R垂直于x轴绘制三角形PQR的区域,例如QA,PB和RC。

现在,在坐标平面中形成了三个不同的梯形,例如PQAB,PBCR和QACR。

现在,计算所有梯形的面积。

因此,将∆PQR的面积计算为:∆PQR的面积= [梯形PQAB的面积+梯形PBCR的面积]-[梯形QACR的面积] ---(1)

求梯形PQAB的面积 

我们知道求梯形面积的公式是

由于梯形的面积=(1/2)(平行边之和)×(它们之间的距离)

梯形的面积PQAB =(1/2)(QA + PB)×AB

QA= y 2

PB = y 1

AB = OB – OA = x  – x 2

梯形PQAB的面积=(1/2)(y  + y 2)(x  – x 2 ---(2)

求梯形PBCR的面积

梯形PBCR的面积=(1/2)(PB + CR)×BC

PB = y 1

CR = y 3

BC = OC – OB = x  – x 1

梯形PBCR的面积=(1/2) (y  + y 3)(x  – x 1 ---(3)

求梯形QACR的面积

梯形QACR的面积=(1/2) (QA + CR)×AC

QA = y 2

CR = y 3

AC = OC – OA = x  – x 2

梯形QACR的面积=(1/2)(y  + y 3)(x  – x 2 ---(4)

将(2),(3)和(4)替换为(1),

∆PQR的面积= (1/2)[(y  + y 2)(x  – x 2)+(y  + y 3)(x  – x 1)–(y  + y 3)(x  – x 2)]

A =(1/2) [x 1(y 2  -y 3)+ x 2(y  -y 1)+ x 3(y  -y 2)]

特殊情况:

如果三角形的顶点之一是原点,则可以使用以下公式计算三角形的面积。

具有顶点的三角形的面积为(0,0),P(a,b)和Q(c,d)为

A =(1/2)[0(b – d)+ a(d – 0)+ c(0 – b)]

A =  (ad – bc)/ 2 

如果具有顶点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2  和R(x 3,y 3的三角形的面积为零,则(1/2) [x 1(y 2  – y 3)+ x 2(y  -y 1)+ x 3(y  -y 2)] = 0,并且点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2  和R(x 3, y 3)什线的。

坐标几何示例中的三角形面积

示例:顶点为A(1、2),B(4、2)和C(3、5)的∆ABC面积是多少?

解:

使用公式,

A =(1/2) [x 1(y 2  -y 3)+ x 2(y  -y 1)+ x 3(y  -y 2)]

A = (1/2) [1(2 – 5)+ 4(5 – 2)+ 3(2 – 2)]

A =(1/2)[-3 + 12] =  9/2  平方单位。

因此,三角形ABC的面积是   9/2  平方单位。

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