向量坐标运算

向量坐标运算,要学习计算机图学，除了对各种坐标系统的掌握之外，不可或缺的就是向量的应用，这边介绍一些基本的向量观念与其应用。

假设三维空间中有一点(a, b, c)，则我们定义向量如下：
 

A向量为由原点出发、具有大小与方向性的向量，大小即为原点至该点的长度，而方向即为图中箭头所表示的；当向量长度为1时，我们称为「单位向量」，通常使用i, j, k来表示X轴、Y轴与Z轴的单位向量，而向量的表示法，可以使用上图右式所示。

向量表示法的好处是可以同时指明某变量的大小与方向，例如在模拟物理运动或力的作用时，向量表示法就相当的有用，例如若某物体的前进方向与速度，可以用向量来同时表示其X分量与Y分量的速度，如(a, b)就表示其在X方向的速度为a，Y方向速度为b，如果物体弹性碰撞右墙，则只要改变X分量为负方向，也就是(-a, b)即可。
 

定义两个向量A(x1, y1, z1)与B(x2, y2, z2)的内积运算为：
 

如上式所示，向量内积运算后是个纯量，不带有方向性，经过导证，向量内积运算也等同于下面这个式子：
 

其中θ与向量内积在图形上的意义如下所示：
 

也就是说，可以利用向量内积求得A向量在B向量上的投影（或反过来求B向量在A向量上的投影）。

向量内积在图学上的应用之一，就是求得光线的照射量，我们必须先知道，与平面垂直的向量为平面的法向量，如果有一平行光源照射至某平面，则我们可以藉由平面法向量与光源的向量求内积，如果内积为零，则表示光源与平面平行，则平面受光量为0，内积求得值的绝对值越大，则平面受光量越大。
 

定义A(x1, y1, z1)与B(x2, y2, z2)两向量的外积为
 

由上式可以得知，向量外积运算后会得到另一个向量，其关系如下：
 

向量外积运算后的方向判断若使用右手来判断，则右手食指为A向量，中指为B向量，姆指就为AXB，或单纯右手四指由A绕至B，姆指即为AXB的方向，而 AXB的大小为：
 

向量外积的使用在图学中也是相当广泛，例如凸面体的隐藏面判断，可以利用向量外积求得一平面的法向量，假设位于Z轴的正方向往负方向看过去，则若平面法向量的Z分量为正，表示平面朝向您，为可视平面，若Z分量为负，表示平面朝另一面，您看不到这个平面。
 

关于向量、内积与外积的应用还有得多，总之将线代好好研读一遍，了解向量并应用于图学上是一个重要的课题。