向量外积的几何意义

有“内积”就应该有“外积”，听起来似乎理所当然，其实并不尽然，只有三维空间中，才有外积的定义。再说“内」”、“外”之分，似乎是历史的错误；两个向量的内积，并不是个向量，而是个纯量(数)，然而两个三维向量的外积，却仍是个向量，丝毫不见“外”。

在三维空间中，两个向量的外积，可以自然地描述，也可以藉由坐标来定义。设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积  为一长度等于 ，（θ为 , 两者交角，且 ），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为 的方向。例如在右手系的空间坐标中，若 分别代表 x轴、y轴、z 轴正向的单位向量，则
 

另外，显而易见的是， , 的外积与其次序有关， 并不等于 ；事实上， 。当, 中有一个零，或者两者平行时，则令 。

如果选定一组坐标系， 为对应的三正交单位向量，则 与 的外积，可藉由其分量表示出来：若 ， ，则
 
 

假使我们借用行列式的符号，不妨把它写成 

不但容易记，而且也可以经由行列式的性质，验证一些外积的性质。

这两个方法，各有千秋，前者易懂，后者好算。借助于坐标化，我们可以透过机械的运算(可能繁但不会难)，验证一些类似

的复杂式子。即使只知道定义，你一样可以验证，然而自然的描述法，就很难办到。不过，引进坐标系来定义，终不免有个疑虑，那就是：选择不同的坐标系，会不会导致不一样的外积？

由行列式的性质可知，若将 分别代以a₁, a₂, a₃ 或 b₁, b₂, b₃，则(*)之行列式等于 0，也就是说 。换句话说， 与 , 两向量都正交。另外 

而我们知道， ，因此， ，总而言之， 为一长为 ，而与 , 皆正交的向量，可见与坐标系的选取无关。

外积的运算，与一般的乘积，有同有不同。相同的是，分配律成立：
 

不同的是，交换律与结合律并不成立。（试举一例，说明 不必等于 ！）取而代之的是，反交换律 及 Jacobi 恒等式 
 

另外，纯量与向量的混合结合律则无问题：
 

现在，我们来看一些简单的应用： 

 

 

[例1] 正弦定律
如下图 ，故 即 ，故 ，从而 ，因此 。
 

[例2] 平行六面体的体积
如下图， 垂直于底面，即 与 所生成的平面，其长 ，也就是底面平行四边形的面积，因此 ，而 即为高 h，故 代表 ,, 三向量所张之平行六面体的体积。

若 ， ， ，则
 

 

又，由行列式的性质，易知 。

 

 

 

[例3]平行四边形与三角形之面积
在例2中，若取 为垂直于底面之单位向量，则平行六面体之体积，即底面平行四边形之面积。因此，, 二向量所张之三角形面积，即为此三重积 之半。

例如，平面上三点 P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂)，P₃(x₃,y₃) 所形成之三角形面积可计算如下：取 ， ，而 ，则
 

 

[例4]平面方程式
设 P₁(x₁,y₁,z₁)， P₁(x₂,y₂,z₂)， P₃(x₃,y₃,z₃) 为空间中不共线三定点， P(x,y,z) 为空间中任一点，则 P₁,P₂,P₃ 所决定之平面上，其充要条件为 ， ， 所张之平面六面体之体积为 0。换言之，
 

 

为P₁,P₂,P₃所决定之平面方程式。

这个方程式还可以这样看：
 

 

 

与 及 皆垂直，故为此一平面之一法线向量，而此面又通过 P₁ 点，因此 。

前面我们引进了 这种纯量值的三重积，现在我们考虑另一种向量值的三重积 ，我们可以证明 = ，从而Jacobi恒等式立即得证：
 

 

这个式子，我们自然可以将 ， ， 代入验证。如果利用内积和外积的线性(分配律和混合结合律)，当然简化到只须检查 , , 为坐标单位向量 就够。然而机械式的演算，到底难以深刻地了解与记忆，因此，我们从另一个角度来分析。

假设 , 为二不平行的非零向量，则 与 及 皆正交，而 则又与 正交，因此必须与 , 所张的平面平行，也就是说 ，又因 与 也正交，故 。

若 与 , 皆不正交，则有
 

 

因此

 

在 的特别情况时，不难看出 ，也就是说 ：因为两边分别与 作内积，则得 ；因此
 

 

即
 

 

 

从而 。

至于一般情况，可将 两边与 作内积而得：
 

 

故 。

 

 

 

[例5]
设 , 为二已知向量，且 而 ，又设 c 为一已知实数，试求一向量 ，使其满足 。

 

 

 

[解]
设 为所求之向量，则 ，故 ，代入检验，确实满足。