四元数

四元数

三维空间向量及其内积、外积之成为数学物理的工具，大约从19世纪80年代初期开始，在此之前被普遍使用的，则是由 Hamilton 所创造的「四元数」。由于复数在平面上几何及物理的有效应用，促使人们探索一种三维「复数」的工具。 1843年 Hamilton 创造了形如 的所谓四元数， 其中 a₀,a₁,a₂,a₃ 为实数，i,j,k 则扮演相当于复数中 i 的角色。 两个四元数 与 的和， 定义为

至于乘积则由

与

及分配律来定义，也就是说

我们可以验证，加、减、乘、除四则运算对于四元数系照样可行，就像在复数系中一般，只除了乘法交换律并不满足。可除性较不明显，但却是相当重要的。 若 ，定义 为其共轭数，则 与  =a₀²+a₁²+a₂²+a₃² 皆为实数。 令 而称之为 a 之范数(绝对值)。 显然，若 ，则， 为 a 之倒数。

我们若仔细观察四元数的乘积定义，不难发现向量的内积、外积隐含其中。 若 a=a₀+a₁i+a₂j+a₃k，我们称 为 a 之纯量部分(实数部分)， u=a₁i+a₂j+a₃k 为 a 之向量部分(虚数部分)，当 , ，则 ， 为一纯量，, 为向量，然而 uv 是甚么？

由乘积定义可知 uv =(a₁i+a₂j+a₃k)(b₁i+b₂j+b₃k=-(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)+[(a₂b₃-a₃b₂)i+(a₃b₁-a₁b₃)j+(a₁b₂-a₂b₁)k]，正是 ，因此 清楚地描述四元数的乘法。

因为乘法交换性的缺乏，使得四元数的运算显得繁而难，以至于向量的内积、外积引进后，四元数就被人淡忘了。然而，四元数的可除性，却是内积、外积所不及的，譬如说，例 5 的解答，虽简短却不容易。然而，就四元数的观点而言，这个问题只不过是一元一次方程式 而已， 我们可以立刻解得 。