1.1 复数的算术运算
z1 = x1+ y1i,
z2 = x2+ y2i.
假设一般的算术规则适用于复数我们可以找到︰
增加
z1 + z2 = (x1+y1i) + (x2+y2i) = (x1+x2) + i(y1+y2)
减法
z1 - z2 = (x1+y1i) - (x2+y2i) = (x1-x2) + i(y1-y2)
乘法
z1z2 = (x1+y1i)(x2+y2i) = x1x2 + y1x2i + x1y2i +y1y2i2
z1z2 = (x1x2 - y1y2) + (y1x2 + x1y2)i
例子:
z1 = 0 + 1i = i;
z2= 0 + 1i = i.
z1z2 = i2 = (0+1i)(0+1i) = (0 -1) + (0+0)i = -1
除法
z1/z2 = (x1+y1i)/(x2+y2i)是一个复杂的数字, 假如 z2 = x2+ y2i 0.
x22+ y22 0.
得到方程 (1.12), 我们迫使复杂分母用分子和分母相乘的数是真实的 x2 -y2i.
=
=
在乘法中 (x1+y1i)(x2 -y2i)我们得到公式 (1.12).
例 13:
有两个数:
z1 = 5 - 3i,
z2 = 1 + 4i.
加法:
z1 + z2 = (5 - 3i) + (1 + 4i) = (5 + 1) + (-3 + 4)i = 6 + i
减法:
z1 - z2 = (5 - 3i) - (1 + 4i) = (5 - 1) + (-3 - 4)i = 4 - 7i
乘法:
z1z2 = (5 - 3i)(1 + 4i) = 5 - 3i + 20i - 12i2 = 17 + 17i
除法:
z1/z2 = (5 - 3i)/(1 + 4i) = {(-12 +5) + i(-3 - 20)}/(16 + 1) = - 7/17 - i(23/17)
例 14:
z1 = 1+ i,
z2 = 1- i.
z1/z2 = (1 + i)/(1- i) = (1 + i)2/{(1- i)(1+ i)} = (1 + 2i + i2)/(1 - i2) = 2i/2 = i.
5.2 复数的性质
1. 加法交换定律
z1 + z2 = z2 + z1 证明
2. 乘法交换定律
z1z2 = z2z1 证明
3. 加法关联定律
z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3
4. 乘法关联定律
z1(z2z3) = (z1z2)z3
5. 乘法是相对于加法的分配的:
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3
6.两个复数的乘积是零的,如果且仅当至少一个因数为零.
7. 加法逆元
任何复杂的数 z有一个独特的负–z这样,z + (–z) = 0. If z = x + yi,这负 –z = – x – yi.
8. 乘法逆元
任何非零复数 z = x + yi 有一个独特的逆 1/z这样z(1/z) = 1.
这个数 1/z 被称为复数的倒数 z.
1/z = .
9. 加法的特性
一个复杂的数字 w这样 z + w = z 对于所有复杂的数字z. 这个数w是有序的对(0, 0).
10.乘法的特性
有一个复杂的数字 这样z = z对于所有复杂的数字 z. 有序对 (1, 0) = 1 + 0i这个属性是唯一的复数。
1.2.1复数的性质的证明
这些属性没有一个是难以证明的.大多数证明在实数系统中使用了相应的事实 :
实数是可交换的加法
x + y = y + x.
实数在乘法下是可交换的
x·y = y·x.
1. 法交换定律证明
让我们证明 z1 + z2 = z2 + z1.
z1 = x1 + iy1; z2 = x2 + iy2.
通过对复数的定义 (1.10) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).
x1, x2, y1, y2都是真实的,它什么顺序实数加起并不重要。通过实数加法的交换定律
(x1 + x2) = (x2 + x1) and (y1 + y2) = (y2 + y1).
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) =
(x2 + x1) + i(y2 + y1) = z2 + z1
2. 乘法交换定律的证明
让我们证明 z1z2 = z2z1.
z1 = x1 + iy1; z2 = x2 + iy2.
通过复数乘法的定义 (1.11) z1z2 = (x1x2 - y1y2) + (y1x2 + x1y2)i
和 z2z1 = (x2x1 - y2y1) + (y2x1 + x2y1)i.
x1, x2, y1, y2都是真实的。通过实数乘法的交换定律
x1x2 = x2x1 and y1y2 = y2y1.
这意味着,x1x2 - y1y2 = x2x1 - y2y1
和 y1x2 + x1y2 = y2x1 + x2y1.
这样的方式 z1z2 = z2z1.
.
网友[匿名]评论:利用复数的方法可以通过基本的代数运算导出中学中基本的三角复数的极坐标表示和指数表示推导过程仅仅是用到复数的乘通过复数法的灵活运用—2018-06-23 21:44:08