切线和法线问题

问题1：

令P为曲线上的一个点

y = x ³

并假设P处的切线再次与Q处的曲线相交。证明Q处的斜率是P处的斜率的四倍。

解决方案：

令P（a，a ³）为曲线上的一个点。

y = x ^3-   （1）

dy / dx = 3x ²

P点的斜率：

dy / dx = 3a ²

P点的切线方程： 

（yy ₁）= m（xx ₁）

（y- a ³）=   3a ²（xa）

 y- a ³   =   3a ² x-3 a ³

通过应用y = x ³的值

x ³ -a ³   = 3a ² x-3a ³

X ³ -a ³ -3a ² X + 3A ³

x ³ -3a ² x + 2a ³   = 0

（xa）²  （x + 2a）= 0

Q点的斜率：

dy / dx = 3x ²

= 3（-2a）²

= 3（4a ²）

= 4（3a²）

Q点的斜率= 4（P点的斜率）

问题2：

证明曲线

2x ² + 4y ²   = 1和6x ² -12y ²   = 1

互相切成直角。 

解决方案：

令（x ₁，y ₁）为曲线上的公共点

2x ₁ ² +4 y ₁ ²   = 1 -----（1）

6x ₁ ² -12y ₁ ²   = 1 -----（2）

要找到相交点，我们必须求解给定的方程式

 （1）  x  3 => 6 x ₁ ² + 12y ₁ ²   = 3

                  6 x ₁ ² -12y ₁ ²   = 1

                  --------------------

                   12 x ₁ ²   = 4

x ₁ ²   = 4/12 ==>   x ₁ ²   = 1/3

通过应用 （1）中的x ₁ ²的值 ，我们得到

2（1/3）+ 4y ₁ ²   = 1

（2/3）+ 4y ₁ ²   = 1

4y ₁ ²   = 1-2 / 3

4y ₁ ²   = 1/3

y ₁ ²   = 1/12

相交点是（1/3，1/12）。

2x ² + 4y ²   = 1

4x + 8y（dy / dx）= 0

8y（dy / dx）= -4x

dy / dx = -4x / 8y

dy / dx = -x / 2y

6x ₁ ² -12 y ₁ ²   = 1

12x-24y（dy / dx）= 0

dy / dx = x / 2y

如果两条曲线正交相交，则

米₁  ⋅ 米₂   = -1

（-x / 2y）（x / 2y）= -1

-x ² / 4y ²   = -1

-（1/3）/（1/3）= -1   

-（1/3）/（1/3）= -1

-1 = -1