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二次方程_隐藏的二次方程_怎样解方程

时间:2020-10-31 14:21:12

  二次方程例子:

20201031135832.png

   二次方程的图很漂亮,像这样:

20201031135909.png

   一般形式
   二次方程式的一般形式是这样的:

20201031135958.png

   a、b 和 c 是已知值,a 不能是 0。
   "x" 是 变量 或未知数(我们还未知其值)。

   更多例子:

2x2 + 5x + 3 = 0   在这例子, a=2b=5  c=3
     
x2 − 3x = 0   这个有点巧妙:
  • a 在哪里?其实,a=1,我们通常不这样写的: "1x2"
  • b = -3
  • c 呢?c=0,所以不写出来。
5x − 3 = 0   哎呀! 这个 不是 二次方程:没有 x2 
换句话说,a=0,就不是二次式)

   隐藏的二次方程!

   二次方程的 "一般形式" 是     ax2 + bx + c = 0

   但二次方程有时看上去不是这样的!例如:

乔装 一般形式 a、b 和 c
x2 = 3x − 1 把所有的项移到左边 x2 − 3x + 1 = 0 a=1、b=−3、c=1
2(w2 − 2w) = 5 展开(拆开 括号),
把5移到左边
2w2 − 4w − 5 = 0 a=2, b=−4, c=−5
z(z−1) = 3 展开,把3移到左边 z2 − z − 3 = 0 a=1, b=−1, c=−3
20201031140220.png  

来玩玩

来玩玩"二次方程探测器"。你可以看到:

  • 它画的图,和
  • 方程的解(叫"根")。

   怎样解方程?
   二次方程的 "解" 是方程等于零的地方。

   二次方程通常有两个解("零点"),(如上图)

   有三个解二次方程的方法:

一、我们可以 因式分解二次式 (找什么相乘可以得到这二次方程)
二、我们可以 配方,或
三、我们可以用这专用的 二次公式:

二次公式:x = [ -b (+-) sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a

你只需代入 a、b 和 c 的值,然后算根的值。

我们现在来具体看看这个方法。

   关于二次公式

  正/负

  先看看这个 正/负 号:±

右箭头

± 的意思是有两个答案:

二次公式:x = [ -b + sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a 和 x = [ -b - sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a

这是为什么有两个答案。

  二次式图

   可是,有时候没有两个实数答案,我们看看 "判别式" 便知道:

   判别式

   看到上面公式里的 b2 − 4ac 吗?这便是 判别式,因为它可以 "判别" 不同种类的可能答案:

   复解?这个后边再谈。我们先看看怎样去用这个公式。

   二次公式应用

   把 a、b 和 c 的值代入二次公式,然后计算答案。

 例子:解 5x² + 6x + 1 = 0

系数是:   a = 5、b = 6、c = 1
     
二次公式:   x = −b ± √(b2 − 4ac)2a
     
代入 a、b 和 c:   x = −6 ± √(62 − 4×5×1)2×5
     
  x = −6 ± √(36 − 20)10
    x = −6 ± √(16)10
    x = −6 ± 410
    x = −0.2  −1
5x^2+6x+1

答案: x = −0.2  x = −1

 

如图。

检验 -0.2: 5×(−0.2)² + 6×(−0.2) + 1 
= 5×(0.04) + 6×(−0.2) + 1 
= 0.2 − 1.2 + 1 
= 0
检验 -1:

5×(−1)² + 6×(−1) + 1 
= 5×(1) + 6×(−1) + 1 
= 5 − 6 + 1 
= 0

   复解?


   当判别式(b2 − 4ac 的值)是负数时,方程的解便是 复解……这又是什么意思呢?

   意思是答案会含有 虚数。(一头雾水!)

例子:解 5x² + 2x + 1 = 0

系数   a = 5, b = 2, c = 1
     
注意: 判别式 是负数:   b2 − 4ac = 22 − 4×5×1 = -16
     
用二次公式:   x = −2 ± √(−16)10
     
-16 的平方根是 4i
(i 是 √-1,去 虚数 来了解更多)
     
结果:   x = −2 ± 4i10
5x^2+6x+1

答案: x = −0.2 ± 0.4i

 

图不经过 x轴。这就是为什么解是复数。

  这其实更为简单:我们不需要做计算,只要写下 −0.2 ± 0.4i 就行了。

  总结

 

 

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点这里查看与之相关的计算

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