二次方程的图很漂亮,像这样:
a、b 和 c 是已知值,a 不能是 0。
"x" 是 变量 或未知数(我们还未知其值)。
更多例子:
2x2 + 5x + 3 = 0 | 在这例子, a=2、b=5 和 c=3 | |
x2 − 3x = 0 | 这个有点巧妙:
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5x − 3 = 0 | 哎呀! 这个 不是 二次方程:没有 x2 换句话说,a=0,就不是二次式) |
二次方程的 "一般形式" 是 ax2 + bx + c = 0
但二次方程有时看上去不是这样的!例如:
乔装 | → | 一般形式 | a、b 和 c |
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x2 = 3x − 1 | 把所有的项移到左边 | x2 − 3x + 1 = 0 | a=1、b=−3、c=1 |
2(w2 − 2w) = 5 | 展开(拆开 括号), 把5移到左边 |
2w2 − 4w − 5 = 0 | a=2, b=−4, c=−5 |
z(z−1) = 3 | 展开,把3移到左边 | z2 − z − 3 = 0 | a=1, b=−1, c=−3 |
来玩玩来玩玩"二次方程探测器"。你可以看到:
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有三个解二次方程的方法:
你只需代入 a、b 和 c 的值,然后算根的值。
我们现在来具体看看这个方法。
先看看这个 正/负 号:±。
± 的意思是有两个答案: 这是为什么有两个答案。 |
可是,有时候没有两个实数答案,我们看看 "判别式" 便知道:
看到上面公式里的 b2 − 4ac 吗?这便是 判别式,因为它可以 "判别" 不同种类的可能答案:
复解?这个后边再谈。我们先看看怎样去用这个公式。
把 a、b 和 c 的值代入二次公式,然后计算答案。
系数是: | a = 5、b = 6、c = 1 | |
二次公式: | x = −b ± √(b2 − 4ac)2a | |
代入 a、b 和 c: | x = −6 ± √(62 − 4×5×1)2×5 | |
解: | x = −6 ± √(36 − 20)10 | |
x = −6 ± √(16)10 | ||
x = −6 ± 410 | ||
x = −0.2 或 −1 |
答案: x = −0.2 或 x = −1
如图。 |
检验 -0.2: | 5×(−0.2)² + 6×(−0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(−0.2) + 1 = 0.2 − 1.2 + 1 = 0 |
检验 -1: |
5×(−1)² + 6×(−1) + 1 |
当判别式(b2 − 4ac 的值)是负数时,方程的解便是 复解……这又是什么意思呢?
意思是答案会含有 虚数。(一头雾水!)
系数是: | a = 5, b = 2, c = 1 | |
注意: 判别式 是负数: | b2 − 4ac = 22 − 4×5×1 = -16 | |
用二次公式: | x = −2 ± √(−16)10 | |
-16 的平方根是 4i (i 是 √-1,去 虚数 来了解更多) |
||
结果: | x = −2 ± 4i10 |
答案: x = −0.2 ± 0.4i
图不经过 x轴。这就是为什么解是复数。 |
这其实更为简单:我们不需要做计算,只要写下 −0.2 ± 0.4i 就行了。
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