导数 是在函数上任何一点的坡度。
有很多法则可以帮助我们去求导数。
例子:
以下是一些常用的法用来求函数的导数(例子在下面)。注意:这个符号 ’ 的意思是 "的导数"。.
常见函数 | 函数 | 导数 |
---|---|---|
常数 | c | 0 |
直线 | x | 1 |
ax | a | |
平方 | x2 | 2x |
平方根 | √x | (½)x-½ |
指数 | ex | ex |
ax | ln(a) ax | |
对数 | ln(x) | 1/x |
loga(x) | 1 / (x ln(a)) | |
三角 (x 的单位是 弧度) | sin(x) | cos(x) |
cos(x) | −sin(x) | |
tan(x) | sec2(x) | |
反三角 | sin-1(x) | 1/√(1−x2) |
cos-1(x) | −1/√(1−x2) | |
tan-1(x) | 1/(1+x2) | |
法则 | 函数 | 导数 |
乘以常数 | cf | cf’ |
幂次方法则 | xn | nxn−1 |
加法法则 | f + g | f’ + g’ |
减法法则 | f - g | f’ − g’ |
积法则 | fg | f g’ + f’ g |
商法则 | f/g | (f’ g − g’ f )/g2 |
倒数法则 | 1/f | −f’/f2 |
链式法则 (为 "复合函数") |
f º g | (f’ º g) × g’ |
链式法则 (用 ’ ) | f(g(x)) | f’(g(x))g’(x) |
链式法则 (用 ddx ) | dydx = dydududx |
"的导数" 也可以写成ddx所以 ddxsin(x) 和 sin(x)’ 是 一样的,只不过写法不同,
例子:x3 是什么?
问题是 "x3 的导数是什么?"
我们可以用幂次方法则,以 n=3:
xn = nxn−1
x3 = 3x3−1 = 3x2
例子:(1/x) 是什么?
1/x 等于 x-1
我们可以用幂次方法则,以 n = −1:
xn = nxn−1
x−1 = −1x−1−1 = −x−2
乘以常数
例子:5x3 是什么?
cf 的导数 = cf’
5f 的导数 = 5f’
幂次方法则:
x3 = 3x3−1 = 3x2
所以:
5x3 = 5x3 = 5 × 3x2 = 15x2
例子:x2+x3 的导数是什么?
加法法则说:
f + g 的导数 = f’ + g’
所以我们可以求每项的导数,然后求它们的和。
幂次方法则:
x2 = 2x
x3 = 3x2
所以:x2 + x3 的导数 = 2x + 3x2
减法法则
变量不一定是 x,我们可以相对于 v 来求导数:
例子:(v3−v4) 的导数是什么?
减法法则说:
f − g 的导数 = f’ − g’
所以我们可以求每项的导数,然后求它们的差。
幂次方法则:
v3 = 3v2
v4 = 4v3
所以:
v3 − v4 的导数 = 3v2 − 4v3加法、减法、乘以常数和幂次方法则
例子:(5z2 + z3 − 7z4) 的导数是什么?
幂次方法则:
z2 = 2z
z3 = 3z2
z4 = 4z3
所以:
(5z2 + z3 − 7z4) = 5 × 2z + 3z2 − 7 × 4z3 = 10z + 3z2 − 28z3
积法则
例子:cos(x)sin(x) 的导数是什么?
积法则说:
fg 的导数是 = f g’ + f’ g
在这个例子里:
f = cos
g = sin
根据上面的列表:
cos(x) = −sin(x)
sin(x) = cos(x)
所以:
cos(x)sin(x) 的导数 = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x)
= cos2(x) − sin2(x)
倒数法则
例子:(1/x) 的导数是什么?
倒数法则说:
1/f 的导数 = −f’/f2
若 f(x)= x,f’(x) = 1
所以:
1/x 的导数是 = −1/x2
结果和在上面用幂次方法则求的一样。
链式法则说:
f(g(x)) 的导数 = f'(g(x))g'(x)
导数分别是:
所以:
ddxsin(x2) = cos(g(x)) (2x)
= 2x cos(x2)
链式法则也可以写成:dydx = dydududx
让我们用这个公式来再做一遍上面的例子:
dydx = dydududx
设 u = x2,所以 y = sin(u):
ddx sin(x2) = ddusin(u)ddxx2
分别微分:
ddx sin(x2) = cos(u) (2x)
代入 u = x2 和简化:
ddx sin(x2) = 2x cos(x2)
结果和上面一样!
再来看看一些链式法则的例子:
1/cos(x) 是由 1/g 和 cos() 结合而成:
链式法则说:
f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)
导数分别是:
所以:
(1/cos(x))’ = −1/(g(x))2 × −sin(x)
= sin(x)/cos2(x)
注意:sin(x)/cos2(x) 也是 tan(x)/cos(x),或其他不同的形式。
链式法则说:
f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)
(5x-2)3 是由 g3 和 5x-2 结合而成:
导数分别是:
所以:
(5x−2)3 = 3g(x)2 × 5 = 15(5x−2)2
.