三角形的关系

三角形的边和角度的放置非常重要。我们已经广泛地处理了三角形，但是我们可能忽略了一个重要的细节，即三角形的边和角度之间的关系。这些角侧关系代表了所有三角形的特征，因此理解这些关系对于丰富我们对三角形的了解将非常重要。

角侧关系

如果三角形的一侧比另一侧长，则与长侧相对的角度将比与短侧相对的角度具有更大的度数。

反之亦然：如果三角形的一个角度的度数比另一个角度的度数大，则与较大角度相对的一侧将比与较小角度相对的一侧更长。

简而言之，我们只需要了解三角形的较大边与较大角度相反，而三角形的较小边与较小角度相反。让我们看一下下面的图，以图形方式组织这个概念。

由于段BC是最长的边，因此与该边相反的角度ΔA在ΔABC中具有最大的度量。

我们的最小夹角θC告诉我们，段AB是夹角ABC的最小边。

现在，我们可以进行一些练习，以利用我们对三角形内不等式和关系的了解。

练习1

在下图中，第三边x的长度范围可能是多少。

回答：

考虑三角形的边长时，我们要使用三角形不等式定理。回想一下，该定理要求我们将三角形一侧的长度与另一侧的总和进行比较。两侧的总和应始终大于一侧的长度，以使图形成为三角形。让我们来写第一个不平等。

因此，我们知道x必须大于3。让我们看看我们的下一个不等式是否有助于我们缩小x的可能值。

这个不等式向我们表明x的值不能超过 17。让我们算出最终的不平等。

最终的不平等并不能帮助我们缩小选择范围，因为我们已经知道x必须大于3的事实。此外，三角形的边长不能为负，因此我们可以忽略该不等式。

结合我们的前两个不等式得出

因此，使用三角不等式定理向我们展示x的长度必须在3到17之间。

练习2

按从最小到最大的顺序列出角度。

回答：

在本练习中，我们想使用我们所了解的有关角度-侧面关系的信息。由于已经给了我们所有的边长，我们只需要按从最小到最大的顺序对它们进行排序，然后查看与这些边相对的角度即可。

从最小到最大的顺序，我们这边是PQ，QR和RP。这意味着与这些侧面相对的角度将按从最小到最大的顺序排列。因此，按从最小到最大的角度测量，我们有 ？R，？P，然后有？Q。

练习3

下面三角形的哪一边最小？

回答：

为了找出三角形的哪一侧最小，我们必须首先找出三角形的哪一个角度最小（因为最小的一侧将与最小的角度相对）。因此，我们必须使用三角角和定理 来确定缺失角的大小。

 

由于ΔV具有最小的量度，因此我们知道与该角度相反的一侧的长度最小。对应的边是段DE，所以DE是？DEV的最短边。

练习4

回答：

虽然可能无法立即清楚地看到图中给出了两个外角，但必须注意它们，以便在两个三角形的角之间建立关系。我们将关注的外角为？JKM。

我们已经知道θKLM和θKMJ是全等的，这意味着它们的角度的度量是相等的。

我们还知道，？JKM的量度比？KLM的任一遥远内角都大。因此，我们知道的措施？JKM 比的措施更大？KLM。

我们已经确定了？KLM的度量与？KMJ的度量之间的等价关系 ，因此，但是，替代性地，我们得出？JKM 的度量大于？

KMJ的度量。我们的论点的两列几何证明如下所示。

练习5（具挑战性）

回答：

这个问题将要求我们使用 过去所实践的几个定理和假设。从我们要得出的结论来看，我们很可能也必须利用三角不等式定理。

我们首先注意到AD和BE段是平行的。这个事实让我们说？一个是全等的ΔE 由备用外角定理（有段AE为横向触摸组平行线）。

我们还得到C是段AE的中点。这告诉我们AC和CE的长度相等，因为中点标记线段的中间。

接下来，我们可以说，因为它们是垂直角度，所以ΔACD和ΔECB是全等的。换句话说，它们具有相同的角度量度。

根据ASA假设，我们可以说？ACD ?? ECB，因为我们有两对全等角和一对全等边。

现在，我们将注意力转向？ACD。在三角不等式定理，其中指出一个三角形的两条边的长度之和必须大于第三边的长度大，有助于我们显示，段的总和AC 和CD比的长度大AD。

我们知道CD和CB的长度相等，因为它们是全等三角形的对应部分，因此我们可以用CB 代替CD以得出结论。因为要遵循的信息很多，所以下面有一个关于此问题的新说明，它显示了一致的边和角度。

我们的两列几何证明如下所示。比起我们已经提供的段落形式的证明，遵循起来要容易得多。