某些特定角度的三角测量比

对于在应用中经常看到的某些特定角度（例如30 °，45 °和60 °），  我们可以使用几何来确定三角比。

30°和60°的三角比

设ABC为边长为a的等边三角形（请参见下图）。垂直于BC绘制AD，然后D将BC边一分为二。

然后，

BD =直流= a / 2

∠差=   ∠DAC = 30 °

 

现在，在直角三角形ADB中，  ∠BAD = 30 °且BD = a / 2。

在毕达哥拉斯定理的直角三角形亚行中， 

AB ²   = AD ²  + BD ²

a ²   = AD ²  +（a / 2）²

一个²  - （A ² /4）=   AD ²

图3a ² / 4 = A d ²

√（3A ² /4）= AD

√3⋅a  / 2   = m AD 

因此，我们可以找到与直角三角形ADB 夹角为30 ° 的三角比例。 

在直角三角形ADB中，  ∠ABD = 60 °。

因此，我们可以确定角度为60 ° 的三角比例。

45°的三角比

如果直角三角形的锐角为45 °，则另一个锐角也为45 °。 

因此  ，三角形是等腰的。 让我们考虑三角形ABC 

∠B = 90 °

∠A =   ∠C = 45 °

那么AB = BC。

设AB = BC = a。

根据毕达哥拉斯定理，

AC ²   = AB ²  + BC ²

AC ²   = a ²  + a ²

AC ²   = 2a ²

在每一侧取平方根。

AC = a√2

因此，我们可以找到与直角三角形ABC成45°角的三角比例。 

0°和90°的三角比

考虑下图，该图显示了以原点为中心的半径为1单位的圆。

令P为坐标为（x，y）的第一象限中圆上的一个点。

我们将垂直的PQ从P放到x轴，以形成直角三角形OPQ。

让  ∠ POQ =   θ，则 

sinθ  = PQ / OP = y / 1 = y（P的y坐标）

cosθ  = OQ / OP = x / 1 = x（P的x坐标）

棕褐色  θ= PQ / OQ = y / x

如果OP与OA重合，则角度  θ= 0 °。

由于A的坐标是（1，0），我们有

如果OP与OB重合，则角度  θ= 90 °。

由于B的坐标是（0，1），我们有

下表 提供  了角度0 ° ，30 ° ，45 ° ，60 °  和90 ° 的六个三角比。