抛物线方程及图像

标准形式的抛物线方程

原点顶点： 

y ²   = 4ax（向右打开，a> 0）

y ²   = -4ax（向右打开，a> 0）

x ²   = 4ay（打开，a> 0）

x ²   = -4ay（打开，a> 0）

在（h，k）处的顶点： 

（y-k）²   = 4a（x-h）（向右打开，a> 0）

（y-k）²   = -4a（x-h）（向右打开，a> 0）

（x-h）²   = 4a（y-k）（打开，a> 0）

（x-h）²   = -4a（y-k）（打开，a> 0）

顶点形式的抛物线方程

原点顶点： 

y =轴²  （打开，a> 0）

y = -ax ²  （打开，a> 0）

x = ay ²  （向右打开，a> 0）

x = -ay ²  （向左打开，a> 0）

在（h，k）处的顶点： 

y = a（x-h）²  + k（打开，a> 0）

y = -a（x-h）²  + k（打开，a> 0）

x = a（y-k）²  + h（向右打开，a> 0）

y = -a（y-k）²  + h（向左打开，a> 0）

截距形式的抛物线方程

y = a（x-p）（x-q）（打开，a> 0）

y = -a（x-p）（x-q）（打开，a> 0）

x = a（y-p）（y-q）（向右打开，a> 0）

x = -a（y-p）（y-q）（向左打开，a> 0）

一般形式的抛物线方程

y =轴²  + bx + c（打开，a> 0）

y = -ax ²  + bx + c（打开，a> 0）

x = ay ²  + by + c（向右打开，a> 0）

x = -ay ²  + by + c（向左打开，a> 0）

解决的问题

问题1： 

找到抛物线的标准形式方程，该方程的原点为顶点，焦点为（0，1）。

解决方案： 

在xy平面上绘制顶点（0，0）并聚焦（0，1）。

抛物线的起点是顶点。 

以原点顶点打开的抛物线的标准形式方程式：

x ²   = 4ay

顶点与焦点之间的距离为1个单位。 

即a = 1。 

x ²   = 4（1）y

x ²   = 4y

问题2： 

求出抛物线的标准形式方程，其顶点位于（2，-1），焦点位于（-1，-1）。

解决方案： 

在xy平面上绘制顶点（0，0）并聚焦（0，1）。

抛物线在（2，-1）处向左敞开。

在（h，k）处向左敞开的抛物线的标准方程式： 

（y-k）²   = -4a（x-h）

顶点（h，k）=（2，-1）。

（y + 1）²   = -4a（x-2）

顶点与焦点之间的距离为3个单位。 

即a = 3。 

（y + 1）²   = -4（3）（x-2）

（y + 1）²   = -12（x-2）

问题3： 

找到抛物线的顶点形式方程：

向左或向右打开，顶点（0,0），通过（-16，2）

解决方案： 

抛物线的顶点形式方程，在原点处向左或向右打开顶点： 

x = ay ²

它通过（-16，2）。替换（x，y）=（-16，2）。 

-16 = a（2）²

-16 = a（4）

将每一边除以4。

-4 = a

抛物线的顶点形式方程： 

x = -4y ²

问题4：

找到抛物线的顶点形式方程：

向左或向右打开，顶点（-1，-2），通过（11，0）

解决方案： 

抛物线的顶点形式方程，其顶点在（h，k）处向左或向右打开： 

x = a（y-k）²  + h

顶点（h，k）=（-1，-2）

X = A（Y + 2）²  - 1

它通过（11，0）。替换（x，y）=（11，0）。 

11 = A（0 + 2）²  - 1

11 = A（2）²  - 1

11 = 4a-1

每边加1。 

12 = 4a

将每一边除以4。

3 =一个

抛物线的顶点形式方程：

X = 3（Y + 2）²  - 1

问题5： 

写出如下所示的抛物线的截距形式方程。

解决方案： 

上述抛物线的截距形式方程：

y = a（x-p）（x-q）

因为x截距是（-1，0）和（2，0）， 

x = -1 -----> x + 1 = 0

x = 2 -----> x-2 = 0

然后， 

y = a（x +1）（x-2）

它通过（0，-4）。替换（x，y）=（0，-4）。 

-4 = a（0 +1）（0-2）

-4 = a（1）（-2）

-4 = -2a

将每一边除以-2。

2 =一个

抛物线的截距形式方程：

y = 2（x +1）（x-2）

问题6： 

找出一般形式的抛物线方程：

向上或向下打开，顶点（3，1），通过（1，9）

解决方案： 

首先，找到顶点形式的抛物线方程，然后将其转换为一般形式。 

抛物线的顶点形式方程，其顶点在（h，k）处打开或向下：

y = a（x-h）²  + k

顶点（h，k）=（3，1）。

y = a（x-3）²  +1

它通过（1，9）。替换（x，y）=（1，9）。 

9 = a（1-3）²  +1

9 = a（-2）²  +1

9 = 4a +1

每边减去1。 

8 = 4a

将每一边除以4。

2 =一个

抛物线的顶点形式方程： 

y = 2（x-3）²  +1

将上述顶点形式方程转换为一般形式。 

y = 2 [x ^2-2（x）（3）+ 3 ² ]  + 1

Y = 2（X ²  - 6X + 9）+ 1

分发。 

Y = 2× ²  - 12倍+ 18 + 1

Y = 2× ²  - 12倍+ 19

问题7： 

用顶点形式写出抛物线的以下一般形式方程。

Y = 3× ²  - 18倍+ 29

解决方案： 

Y = 3× ²  - 18倍+ 29

Y = 3（X ²  - 6×）+ 29

Y = 3 [X ²  - 2（X）（3）+ 3 ² - 3 ² ] + 29

Y = 3 [（X - 3）29 ] + 29 

Y = 3（X - 3）²  - 27 + 29

y = 3（x-​​3）²  + 2