圆的方程的各种形式

  圆形方程有两种。他们是

  1.圆的标准方程

  2.圆的一般方程

  圆的标准方程

  如果我们知道圆的半径和中心的坐标，就可以在坐标平面上写一个圆的方程。假设圆的半径为r，中心为（h，k），令（x，y）为圆上的任意点。（x，y）与（h，k）之间的距离为r。

  因此，我们可以使用距离公式。

  将两边平方，以找到半径为r且中心为（h，k）的圆的标准方程式。

  如果中心是原点，则（h，k）=（0，0）因此，标准方程为

x ²  + y ²   = r ²

  圆的一般方程

  下面给出的方程是圆方程的一般形式。

x ²  + y ²  + 2gx + 2fy + c = 0

中心=（-g，-f）

半径=   √[g ²  + f ²  -c]

  编写圆的标准方程

  例1： 写出圆的标准方程，其圆心为（-4，0），半径为7。

  解决方案： 

  圆的标准方程。 

（x-h）²  +（y-k）²   = r ²

  塞（h，k）=（-4，0）和r = 7。

[x-（-4）² ] +（y-0）²   = 7 ²

  简化。 

（x + 4）² + y ²   = 49

  例2： 

  写出一般方程为的圆的标准方程

X ²  + Y ²  - 4X + 6Y - 12 = 0

  解决方案： 

  为了找到圆的标准方程，我们需要知道中心和半径。 

  让我们从给定的圆的一般方程式中找到中心和半径。 

  比较中 

x ²  + y ²  + 2gx + 2fy + c = 0

和

X ²  + Y ² - 4X + 6Y - 12 = 0，

  我们有 

2g =-4 -----> g = -2

2f = 6  -----> f = 3

c = -12

中心=（-g，-f）=（2，-3）

半径=√[g ²  + f ²  -c]

半径=√[（-2）²  + 3 ²  -（-12）]

半径=   √[4  + 9  + 12]

半径=√25

半径= 5

  圆的标准方程： 

（x-h）²  +（y-k）²   = r ²

  塞（h，k）=（2，-3）且r = 5。

（x-2）²  + [y-（-3）² ] = 5 ²

  简化。 

（x-2）²  +（y + 3）²   = 25

  例3： 

  点（1，2）在以（5，-1）为中心的圆上。写出圆的标准方程。

  解决方案： 

  为了找到圆的标准方程，我们需要知道中心和半径。 中心已经给出，我们需要找到半径。

  使用距离公式，我们有

半径=   √[（5 - 1）² +（ - 1 - 2）² ]

半径=√[4 ²  +（-3）² ]

半径=√[16 + 9]

半径=√25

半径= 5

  圆的标准方程： 

（x-h）²  +（y-k）²   = r ²

  塞（h，k）=（5，-1）且r = 5。

（x-5）²  + [y-（-1）² ] = 5 ²

  简化。 

（x-5）²  +（y + 1）²   = 25

  画圆

  如果我们知道圆的方程，则可以通过标识圆的中心和半径来绘制圆的图形。 

  例： 圆的方程是 

（x + 2）²  +（y-3）²   = 9

  画出圆圈。 

 解决方案：

  要绘制圆图，我们需要知道圆的半径和中心。

  重写方程式以找到中心和半径。 

（x + 2）²  +（y-3）²   = 9

[x-（-2）² ] +（y-3）²   = 3 ²

  因此，中心为（-2，3），半径为3。 

  要绘制圆图，请将指南针的点放在（-2，3），将半径设置为3个单位，然后旋转指南针以绘制一个完整的圆。

  应用圆图

  例：

  在舞台上布置了一排灯。每盏灯照亮舞台上的圆形区域。使用坐标平面以舞台的角点为原点来布置灯光。方程  （x-13）²  +（y-4）²   = 16表示光碟之一。 

（1）绘制光碟图。 

（2）三个演员的位置如下： 

亨利在（11，4）

乔琳（8，5）

马丁（15，5）

  光碟里有哪些演员？ 

  解决方案： 

  解决方案（1）： 

  要绘制光碟图，我们需要知道圆的中心和半径，重写方程式以找到中心和半径。 

（x-13）²  +（y-4）²   = 16

（x-13）²  +（y-4）²   = 4 ²

  因此，中心为（13，4），半径为4，圆心为（13，4），半径为4的圆，如下所示（光碟图）。

  解决方案（2）： 上图显示亨利和马丁都在光碟中。