函数是什么？

  函数显示输入与输出的关系，就好像有输入和输出的机器，输出和输入是有关联的。

f(x)	"f(x) = ... " 是一贯的标准函数记法。 但是也有其他的方法去描述函数。

  输入、关系、输出，有很多方法去描述函数，但所有方法都有这三个主要部分：输入，关系，输出，

  例子："乘以 2" 是个非常简单的函数，三个部分是：

  如果输入是 50，输出是多少？

  函数例子

  x²（平方）是个函数，

  x³+1也是个函数，

  正弦、余弦和正切是三角学里的函数，还有很多！

  这里我们不谈个别函数，我们来看函数的一般概念。

  名字，首先，函数要有个名字，最常见的名称是 "f"，但也可以用其他名字，例如 "g" …… 或甚至 "果酱"。这里我们用 "f"：

我们说 "f x 等于 x 平方"

  我们把函数的输入值放在函数名字后面的括号（）中间：所以 f(x) 的意思是函数叫 "f"，而 "x" 是输入值，

  函数对输入值进行的运作：f(x) = x² 显示函数 "f" 取输入值 "x" 的平方。

  例子：f(x) = x²：输入是 4  输出就是 16.  我们这样写： f(4) = 16。

  "x" 只是个位置标志符！"x" 只不过显示表输入值，其实用什么符号来代表都可以！

  所以这个函数：f(x) = 1 - x + x²

  和这些函数是一样的：f(q) = 1 - q + q²      h(A) = 1 - A + A²    w(θ) = 1 - θ + θ²

  自变量（x、q、A等）只不过显示我们需要把输入值放在哪里：f(2) = 1 - 2 + 2² = 3

  函数有时没有名字，有时候函数没有名字，例如：y = x²

  但仍然有：输入（x）关系（取平方）输出（y）

  关系，上面我们说函数像个机器。但函数没有齿轮或传动带，也不会破坏输入！函数显示输入与输出的关系。

  "f(4) = 16" 就是说 4 和 16 是有关系的：4 → 16，而这个关系就是 f。

  例子：这棵树每年长高 20厘米，所以树的高度与它年龄的关系可以用函数 h 来显示：

h(年龄) = 年龄 × 20

  所以，如果年龄是 10年，高度就是：h(10) = 10 × 20 = 200厘米，

  以下是这个函数的一些数值：

年龄	h(年龄) = age × 20
0	0
1	20
3.2	64
15	300
……	……

  函数处理什么？最常见的是 "数字"，但是 什么数字？

  例如，在树的高度函数 h(年龄) = 年龄×20 里，负值的年龄是毫无意义的。

  函数的输入也可以是字母（"A"→"B"），或身份代码（"A6309"→"及格"），或其他特别的东西。

  所以我们要用一个比较强大的综合工具来显示函数，这就是集合：

这是一些例子： 偶数集：{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} 衣服集：{"帽子","衬衫",...} 质数集：{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} 小于十的三的倍数：{3, 6, 9}

  集里面的每个东西（例如 "4" 或 "帽子"）叫成员或元素，所以，函数输入一个集的元素来输出另一个集的元素。

  函数是特别的，函数有特别的规则：一定要可以使用于所有可能的输入，每一个输入值只有一个关系，

  这些规则可以用一个定义来表达：

  函数的正式定义，函数把一个集里的每一个元素，联系到 另一个集里一个独一的值（可能是同一个集）。

  两个重点！

一、	"…… 每一个元素 ……" 的意思是 X 里的所有元素都与 Y 里的某一个元素有关系。 我们说函数覆盖 X （关系囊括所有元素）。 （但 Y 里的一些元素可能没有和 X 的元素有关系，这是允许的。）

二、	"…… 独一的值 ……" 的意思是函数是单值的。一个输入值不能有多于一个输出值。 所以 "f(2) = 7 或 9" 是不行的！

 

注意："一对多关系" 是不允许的， "多对一关系" 就可以：
（一对多）		（多对一）
不允许		允许

  如果一个关系不符合这两个规则，它就不是函数 …… 它还是个关系，但不是个函数。

  例子：x → x²

可以写成列表：

   定义域、陪域与值域，在上面的例子里

  "X" 集的名称是定义域，
  "Y" 集的名称是 陪域，
  Y 集里与 X 有关系的元素（函数的实际输出值）的名称是值域，你可以去阅读关于定义域、陪域与值域的特定页面来了解更多。

  很多名称！
  函数在数学里已经有很长的历史，也有很多不同的名称和表达方法。
  以下是一些你应该知道的名词：

  例子：z = 2u3："u" 可以被称为 "自变量""z" 可以被称为 "因变量"（它因着自变量改变）

  例子：f(4) = 16：我们可以叫 "4" 为 "参数"我们可以叫 "16" 为 "函数的值"

  序偶，这是对函数的另一个看法：把函数的输入和输出为一个 "序偶"，例如 (4,16)，叫序偶，因为输入一定在前面，输出在后面：

  (输入，输出）  像这样：（x，f(x)）例子：（4，16） 的意思是函数的输入是 "4"，输出是 "16"
  序偶集,因此，函数可以被定义为序偶的集 ：

  例子：{(2,4), (3,5), (7,3)} 是个这样的函数："2 和 4有关系"、"3 和 5 有关系"、"7 和 3 有关系"。

  也注意：定义域是 {2,3,7} （输入值）,值域是 {4,5,3} （输出值）,但函数一定要是单值的，所以我们也要说,"若集里有 (a, b) 和 (a, c)，则 b 等于 c",

  也即是说 "a" 值的输入不能有多于一个结果。

  例子：{(2,4), (2,5), (7,3)} 不是函数，因为 {2,4} 和 {2,5} 代表 2 与 4 和 5 都有关系,就是说，它不是函数，因为它不是单值的,

  序偶的好处

  我们可以把序偶画成图 ,因为序偶也是坐标！所以坐标的集也是函数（如果它们符合上面的规则）

  函数可以有不同的部分,不同的函数输入值可以有完全不同的关系,

  例子：有两个部分的函数：若 x 小于 0，函数的值是 5，若 x 等于或大于 0，函数的值是 x2,

  以下使一些数值例子：

x	y
-3	5
-1	5
0	0
2	4
4	16
...	...

  去分段函数了解更多。

  显与隐,最后课题："显" 与 "隐","显"函数是可以用 y=f(x) 来表示的函数，例如：y = x³ - 3,如果知道 x 就可以求 y,

  这是标准的 y = f(x) 格式,"隐"函数是不用这个格式显示的函数，例如：x² - 3xy + y³ = 0 已知 x，怎样求 y？

  可能很困难（甚至不可能！）从 x 求 y。"隐" 的意思守系是 "隐"蔽的。

  画图,函数绘图器只能为显函数画图，方程绘图器可以为显函数及隐函数画图，但要用长一点的时间，并且有时会犯错）。

  结论
  函数显示输入与输出的关系
  函数把一个集（定义域的元素联系到另一个集（陪域）的元素。
  所有的输出值（陪域里实际与定义域有关系的元素）的集叫值域
  特别关系：
  包含定义域里每个元素，
  任何输入值只有一个输出值（不能是一个或另一个输出值）
  一个输入值和它的输出值一起就叫做序偶
  所以函数也可以被视为一个序偶的集