反函数定义和反函数公式大全

  反函数反过来做！先看一个例子：

  我们将函数 f(x) = 2x+3 写成流程图：

反函数就是把流程反过来：

所以： 2x+3 的反函数是： (y-3)/2

  反函数通常是在函数名字后面加一个上标 "-1"：

f^-1(y)

  我们说 "f y 的反函数"

  所以 f(x) = 2x+3 的反函数是这样写：f^-1(y) = (y-3)/2

（我用 y，而不用 x，因为它们代表不同的值。）

  还原,反函数把函数还原：

如果函数 f 把苹果变成香蕉，反函数 f^-1 把香蕉还原为苹果，

  例子：用上面的公式，开始时 x=4:  f(4) = 2×4+3 = 11

  然后把 11 代入反函数的公式里：f^-1(11) = (11-3)/2 = 4

  得回原来的 4！我们可以写成一行：f^-1( f(4) ) = 4

  "f 反函数 的 f 的 4 等于 4"

  所以把一个数值代入一个函数 f，然后把结果代入其反函数 f^-1，就会得到原来的数值： f^-1( f(x) ) = x

  把函数的次序倒转也是一样：f( f^-1(x) ) = x

例子开始：f^-1(11) = (11-3)/2 = 4

  然后：f(4) = 2×4+3 = 11

  所以：f( f^-1(11) ) = 11

  "f 的  f 反函数的 11 等于 11"

  用代数来解,我们可以用代数来求反函数。用 "y" 代替 "f(x)"，然后解 x：

函数：		f(x)	=	2x+3
用 "y" 代替 "f(x)"：		y	=	2x+3
每边减 3:		y-3	=	2x
每边除 2：		(y-3)/2	=	x
换边：		x	=	(y-3)/2
结果 （用 "f-1(y)" 来代替 "x"）：		f-1(y)	=	(y-3)/2

  这是计算比较复杂的反函数的好方法。

  把华氏转换为摄氏,一个好例子是华氏与摄氏相互转换：

将华氏转换为摄氏：		f(F) = (F - 32) × 59
反函数（将摄氏转换为华氏）是：		f-1(C) = (C × 95) + 32

  轮到你了：解反函数！

  常见函数的反函数
  上面的例子都很简单，因为我们都知道乘法的相反是除法，加法的相反是减法，但其他函数呢？
  这是一个列表：

（注意：去阅读反正弦、余弦和正切了解更多。）

  小心！留意 "小心！" 列，因为有些反函数只适用于某些数值。

  例子：平方与平方根,取负数的平方，然后取反函数：

平方：		(-2)2 = 4
反函数（平方根）：		√(4) = 2

  但我们得不到原来的数！结果是 2而不是 -2。我们不小心了！平方函数（在现在情况下）没有反函数，

  但是，我们可以补救！限制定义域（函数的输入）。

 例子：（续）不用负数作为输入，就是说，把定义域限制为 x ≥ 0 就可以有反函数了。

  所以：x² 没有反函数，但{x² | x ≥ 0 }（这是合建构式符号，意思是 "x 平方，满足 x 大于或等于零这个性质"）有反函数。

  没有反函数？我们来看这个图：
  要有反函数，函数的值必然需要是唯一值。

  如果一个 y值有两个或更多 x值，还原时应该选哪个呢？

一般函数		单射函数
没有反函数		能有反函数
如果一个 y值有多于一个 x值，还原时应该选哪个呢？		如果每个 x值的 y值是唯一的（没有其它 x值有这个 y值），从 y 还原到 x 就只有一个选择。

  "每个 x值的 y值是唯一的" 这个概念有个名字，叫 "单射"，也称 "一对一"：

  如果一个函数是"一对一"（单射）的，它就有反函数。

  定义域与值域，我们为什么要 "限制定义域"？

简单地说，定义域是所有输入函数的值（值域的所有输出值）。

  在现在情况下，上面的函数没有反函数，因为有些 y值有多于一个 x值。

  但我们可以限制定义域，使得每个 y值只有一个唯一的 x值 ……

   这样函数就可以有反函数了：

  注意：函数 f(x) 从定义域映入到值域，反函数 f-1(y) 从值域映入到定义域。

  我们可以把函数和反函数都写成 x 的函数 …… 反函数就写成 f^-1(x)，而不是 f^-1(y)：

f(x) 和 f^-1(x) 像彼此的镜像
（相对于对角线反转）。

  换句话说：f(x) 和 f^-1(x) 的图是相对于直线 y=x 对称的，

  例子：平方和平方根（续）

  我们首先把定义域限制为 x ≥ 0：{x² | x ≥ 0 }"x 的平方，满足 x 大于或等于零的性质"

  {√x | x ≥ 0 } "x 的平方根，满足 x 大于或等于零的性质"

可以看到它们是彼此的"镜像"，相对于对角线 y=x.

  注意：把定义域限制为 x ≤ 0（小于或等于 0），反函数就是 f-1(x) = −√x：{x² | x ≤ 0 }  {−√x | x ≥ 0 }

也是反函数.

  不一定有解的！有时不可能解反函数。

  例子：f(x) = x/2 + sin(x)

  我们不能解反函数，因为我们不能解 "x"：  y = x/2 + sin(x)   y …… ？ = x

  记法备注，我们这样写 f-1(x)，但上标 "-1" 不是个指数（次方）:

f-1(x)	…… 和 ……	f(x)-1 是不同的
函数 f 的反函数		f(x)-1 = 1/f(x) （倒数）

  总括
  f(x) 的反函数是 f-1(y)，我们可以把 "流程图" 倒转来求反函数，或者用代数来解反函数：用 "y" 来代替 "f(x)"，然后，解 x，我们可能需要限制定义域才能使得函数有反函数，