使用欧拉公式获得三角恒等式

在本课程中，我们将探讨几种三角恒等式的推导

cos（x + y）= cos x cos y -sin x sin y

和

sin（x + y）= sin x cos y + sin x cos y

也

cos 2 x = cos ² x -sin ² x

随着

sin 2 x = 2 sin x cos x

最后是DeMoivre的公式，

（cos x + i sin x）ⁿ = cos nx + i sin nx

使用欧拉公式。为了对正在发生的事情有一个很好的了解，您将需要有关级数展开和复数的先前知识！您可能需要首先刷新对这些主题的了解。

 

电源系列扩展

我们首先检查函数e ^x，sin x和cos x的幂级数展开。对于a = 0的情况，函数的幂级数通常从函数的泰勒级数中得出。在这种情况下，a = 0的情况称为MacLaurin级数。泰勒级数：

a = 0的情况是MacLaurin系列：

这些级数用于估计某个点附近的函数值。这就是我要说的。e ^x的幂级数；cos x和sin x来自其MacLaurin系列表示形式：

对于所有x。

对于所有x。

 

对于所有x。

复数和e ^x

复数是一个数字形式的一个+双向其中我是方程的根X ² + 1 = 0和一个和b是实数。注意这一点，我们可以在ex的幂级数中使用i，因为对于所有x都成立。

对于所有x。

请记住，x ² +1 = 0→ x = i，所以√-1= i → i ² = -1，i ³ = -i，依此类推。因此，有选择地应用幂，我们得到

现在，我们可以重新排列条件并排除i，以便我们拥有

现在，如果我们在我们的COS系列表示回头X和罪恶X，我们有

e ^ix = cos x + i sin x

这个结论是巨大的。它被称为欧拉公式。从这里我们可以推论出一些三角恒等式以及一般情况的公式。让我们首先检查一个简单的推导：

e ^ix e ^iy =（cos x + i sin x）（cos y + i sin y）

但是，请记住，e ^x e ^y = e ^{x + y}。因此，我们有

e ^{ix + iy} = cos（x + y）+ i sin（x + y）=（cos x + i sin x）（cos y + i sin y）
= cos x cos y + i sin x cos y + i sin y cos x + i ²罪恶x罪恶y

现在我们可以重新安排它，以使复杂部分和实际部分分开。

所以我们有

e ^{ix + iy} = cos（x + y）+ i sin（x + y）=（cos x + i sin x）（cos y + i sin y）
= cos x cos y + i sin x cos y + i sin y cos x + i ² sin x sin y
=（cos x cos y -sinx sin y）+（i sin x cos y + i sin y cos x）

取实部并将它们相等，我们得到熟悉的三角和公式：

cos（x + y）= cos x cos y -sin x sin y

并且

sin（x + y）= sin x cos y + sin y cos x

现在，假设我们有这样的东西：

e ^ix e ^ix = e ^{ix + ix} = e ^i2x = cos（x + x）+ i sin（x + x）
=（cos x + i sin x）（cos x + i sin x）
= cos x cos x + i sin x cos x + i sin x cos x + i ² sin x罪恶x

如果我们等式的等式部分

cos 2 x = cos ² x -sin ² x

还有

sin 2 x = 2 sin x cos x

通常，我们可以通过这种方式获得任意角度倍数的公式。这导致我们得出另一个著名的公式，称为DeMoivre公式。DeMoivre公式可以通过考虑Euler公式的n个情况来导出。

e ^inx = cos nx + i sin nx

我们有兴趣证明

（cos x + i sin x）ⁿ = cos nx + i sin nx

这正是DeMoivre的公式。很明显，对于任何n都是如此。我们可以通过归纳证明所有n都是正确的。

（cos x + i sin x）^n +1 =（cos x + i sin x）ⁿ（cos x + i sin x）

由此，我们应用了从上而来的关于第n个情况的知识。

=（cos nx + i sin nx）（cos x + i sin x）

我们现在可以相乘。

= cos nx cos x + i sin x cos nx + i sin nx cos x + i ² sin nx sin x

从上面的工作中，我们已经证明可以将它们简化为求和公式，如下所示：

cos（nx + x）+ i sin（nx + x）= cos（n + 1）x + i sin（n + 1）x

因此，我们证明了

（cos x + i sin x）ⁿ = cos nx + i sin nx

对于所有n都是正确的。因此，我们证明了一些非常常见的三角恒等式是相关的，并且可以从级数展开和复数中得出！