复数|如何以图形方式预想复数|复平面

如何以图形方式预想复数：复平面

• 复数x + yi对应于具有坐标（x，y）的点
• x轴是实轴
• y轴是虚轴
• 实数与x轴上的点关联
            。例如：x = x + 0i <--=“”>（x，0）
• 虚数与y轴上的点关联
            。例如：yi = 0 + yi <--=“”>（0，y）

如何在复杂平面中找到点（P）

• 复平面中的任何点都可以通过坐标对（r，θ）来识别
• r =从原点到点P的距离（即线段OP）
• θ=从正x轴（在象限I和IV之间）到段OP的角度
• 终端侧的所有点都可以表示为（r cosθ，r sinθ）
            -因为cosθ=相邻/斜边，而斜边= r，为了求解θ，可以继续进行：cosθ= x / r。
             对于x求解，将导致x = r
            cosθ-正相反，由于sinθ=相对/斜边，因此对θ的求解将导致sinθ= y / r。
             求解y将导致y = r sinθ
• 完全拼合：-
            如果我们有复数x +
            yi-那么P具有坐标（x，y）-
            并且x = r cosθ，y = r sinθ

• 三角形式

• 

• “ x + yi”的三角形式为r（cosθ+ i sinθ）
            -这可以从更早的等式中得出。因为当我们有x + yi时，我们发现x = r cosθ和
             y = r sinθ，我们可以分别用r cosθ和r sinθ替换x和y：
                      x + yi =（r cosθ）+（ r sinθ）i-
            通过分解“ r”并乘以“ i”，结果变为：
                      r（cosθ+ i sinθ）
• r =模数或绝对值
            r =（x ² + y ²）^1/2
            r =必须为非负数
• θ=复数
            的论点-与θ的任意角度共角也是相同复数的论点
            tanθ= y / x->θ=反正切tan（y / x）

矩形（标准）形式

• 矩形形式为“ x + yi”

如何从矩形形式更改为三角形式

• 如果A = 2 + 2i-
            首先，找到“ r”。请记住， “R” -所谓的弹性模量-是由形成斜边的绝对值
             侧的“x”和“y”
                      R =√（2 ² + 2 ²）
                         R =√（4 + 4）
                         R =√8
                         ř =
            2√2-接下来，找到θ。请记住，θ被称为自变量，并且可以通过以下公式找到：
             tanθ= y / x，因为“ r”与“ x轴”形成的角的切线等于对边
             除以相邻边（即y值除以x值）。
                      θ=反正切（y / x）
                         θ=反正切（2/2）
                         θ=反正切（1）
                         θ= 45°
• 然后通过插入“ r”和“θ”来找到三角形式：
            A = r（cosθ+ i sinθ）
            A =2√2（cos 45°+ i sin 45°）

如何从三角形式更改为矩形形式

• 如果B =3√3（cos 330°+ i sin 330°）
            r =3√3cos
            330°=√（3/2）
            sin 330°= -1/2
• 然后3√3（√（3/2）+ -1/2 i）-> 9/2-i（3√3）/ 2

如何以正确的三角形式表示复数

• 始终牢记有关正确的三角形式的一些要点：
            -模数（r）必须始终为非负值。
                      这是从点本身到原点的对角线的绝对值。
            -括号表达式必须采用以下形式：cosθ+ i sinθ。
                      确保将每一项写成正数。
• 示例：z = 2（cos 30°-i sin 30°）
            -首先，以矩形形式表示z：
                      2（√（3/2）
            -1/2 i）-> √3-1-1i-因此，在图形上，这将包括向右移动√3个单位，向下移动1个单位，从而在
             象限IV中产生一个点。
                      r =√（（√3）² +1 ²）->√4->√2
                      使用tanθ= y / x，我们得出：
                           tanθ= 1 /√3-> arctan 1 /√3= -30° ->因此，θ= -30°-
            最后，代入：
                      z = 2 [cos（-30°）+ i sin（-30°）]

三角形式的乘法与除法

• 注意：虽然矩形形式使复数的加/减易于理解，但三角形式是出于乘法/除法目的构想复数的最佳方法。
• 如果你打算乘两个复数，Z1 = R1（COSθ1+我的罪θ1），和Z2 = R2（COSθ2+我的罪θ2），该产品是通过以下几个简单的步骤推导：
            -乘模量，以找到产品模量：R1 R2时代
            -添加参数，找到和参数：cos（θ1+θ2）+我的罪（θ1+θ2）
            -Multiply由总和参数的产品模量：R1R2 [COS（θ1+θ2） + i sin（θ1+θ2）]
• 分两个复数：
            -分割模量，以获得商模量：R1 / R2
            -减去的参数，以获得差异的说法：COS（θ1 - θ2）+我的罪（θ1 - θ2）
            -Multiply商模数由差分参数：r1 / r2 [cos（θ1–θ2）+ i sin（θ1–θ2）]
• 示例：
             z1 =√（3/2 +（1/2）i
             z2 = -2 – 2i
             求z1 * z2：
                      （1）用三角形式表示每个
                           z1 = 2（cos 30°+ i sin 30°）
                           z2 = 2√2（cos 225°+ i sin 225°）
                      （2）乘模：
                           2 *2√2=4√2
                      （3）添加自变量：
                           cos（30°+ 225°）+ i（sin 30°+ 225 °）
                      （4）三角形=4√2[cos（30°+ 225°）+ i（正弦30°+ 225°）]
                           4√2[cos（255°）+ i（sin 255°）]
             要查找矩形，请评估cos 255°和sin 255°并简化：
                      4√2[cos（255°）+ i（sin 255°） ）]
                           使用总和和差公式：
                               cos（a + b）= cos a cos b – sin a sin b
                               sin（a + b）= sin a cos b + sin b cos a
                           使用计算器：
                               cos 255°=-。 2588
                               正弦255°= -.9659
                      -1.464 – 5.464i

DeMoiver定理

• 通过重复上面概述的乘法过程，可以得出DeMoivre定理，这使我们能够计算复数的幂和根。
• 为了说明，如果我们继续将z = r（cosθ+ i sinθ）自身相乘，我们将得到：
             z ² = r ²（cos2θ + i sin2θ ）
             z ³ = r ³（cos3θ + i sin3θ）
             z ⁴ = r ⁴（cos4θ+ i sin4θ ）
• 对于负指数，它以以下方式展开：
             z ^-1 = r ^-1 [（cos（-θ））+ i sin（-θ）]
             z ^-2 = r ^-2 [（cos（-2θ））+我犯罪（-2θ）]
• DeMoivre定理通常正式表述为：
             z ⁿ = r ⁿ（cosnθ+ i sinnθ）
• 示例：
             （1 +√3i）^5-以
                      三角形式：
                           2（cos 60°+ i sin 60°）
                      -应用DeMoivre定理：
                           2 ⁵ [cos 5（60°）+ i sin 5（60°）]
                           32（ cos 300°+ i sin 300°）
                           32（1/2 + i（-√3）/ 2）
                           16 –（16√3）i

复数的根

• 有关可视化复数根的一些基本知识：
             -复数的n个根全部位于以原点为中心且半径=（r）^{（1 / n）}的复平面内形成的圆上
             -上的n个根圆都等距分布，从K = 0开始，一直到k = n-1，以自变量（即间隔）相差360°/ n进行
• 公式：-
             给定任何正整数n，则非零复数z（其中z = r（cosθ+ i sinθ））具有正好n个不同的第n个根，由以下等式给出，其中k = 0， 1，2，....，（n-1）：
                      W（sub k）=（r）^ n [cos（θ/ n + k * 360°/ n）+ i sin（θ/ n + k * 360°/ n）]
• 示例：找到5 + 12i的第六根
             （1）以三角形式写5 + 12i：
                      r =√（5 ² + 12 ²）=
                      13θ=反正切（12/5）〜67.38°
                      因此，5 + 12i = 13（cosθ+ i sinθ）
             （2）由于我们正在寻找第六个根（n = 6），因此将n替换为6并简化：
                      W（sub k）= 13 ^1/6 [cos（θ/ 6 + k * 360/6）+ i sin（θ/ 6 + k * 360/6）]
                      W（sub k）= 1.533 [cos（67.38 / 6 + k * 60）+ i sin 11.23 + 60k）]
                      W（sub k）= 1.533 [cos（11.23 + 60k）+ i sin（11.23 + 60k）]
             （3）插入直到（n-1）的k的各种值，其中n = 6（由于第六个根） ）。
                      K = 0-> 1.504 + .299i
                      K = 1-> .493 + 1.451i
                      K = 2-> -1.01 + 1.153i
                      K = 3-> -1.504 + -.299i
                      K = 4-> -.493 +- 1.451i
                      K = 5-> 1.01 + -1.153i