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对数函数

时间:2020-10-24 12:53:14

对数函数具有三个主要部分。第一个成分是基数b;第二个成分侍定值y,即您在函数中输入的值;第三个分量是对数函数x的输出。对数函数的输出是以下问题的答案:为了达到固定值y,我必须将底数b提高到什么指数?也就是说,以b为底的对数是y的解:b x = y。

常规符号为log b(y)= x,大声读为“ y的对数基数b等于x”。

示例:如果b = 2且x = 8,则对数2(8)= 3,因为3满足方程2 x = 8。

另一个示例:由于10 2 = 100,所以记录10(100)= 2 

对数最常用的底数是底数b = 2,底数b = 10和底数b = e(其中e是大约等于2.718的常数)。以e为底的对数通常称为自然对数,在纯数学和微积分中有许多应用。log e(y)的标准符号为ln(y)。日志10(y)的标准符号为log(y)。如果没有给出基数,则假定它是基数10。

现在,我们已经了解了对数的基本知识,让我们看一些对数恒等式。

此标识来自乘积的指数规则:b x b w = b x + w

假设我们有两个固定值y和z,并假设知道log b(y)= x和log b(z)= w。这意味着b x = y和b w = z。如果将y和z相乘,则yz = b x b w = b x + w这意味着x + w是为了达到yz的固定值而必须将b增大到的指数。那是,

log b(yz)= log b(y)+ log b(z)。

这是对数的乘积规则。换句话说,log b(yz)= log b(y)+ log b(z)表示乘积的对数等于因子对数的总和。

让我们计算日志7(7 * 49)。我们注意到log 7(7)= 1和log 7(49)= 2。

因此,log 7(7 * 49)= log 7(7)+ log 7(49)= 1 + 2 = 3。

 

此标识来自乘积的指数规则:(b x)/(b w)= b x-w

和以前一样,如果log b(y)= x且log b(z)= w。这意味着b x = y和b w = z。如果将y和z相除,则y / z =(b x)/(b w)= b x-w

这意味着xw是为了达到y / z的固定值而必须将b提高到的指数。那是,

log b(y / z)= log b(y)-log b(z)。

这是对数的商规则。换句话说,log b(y / z)= log b(y)-log b(z)表示商的对数等于因子对数的差。

让我们计算日志10(1 / 10,000)。我们注意到log 10(1)= 0和log 10(10,000)= 4。

因此,log 10(1 / 10,000)= log 10(1)-log 10(10,000)= 0-4 = -4。您可以使用计算器检查10 (-4) = 1 / 10,000。

注意,b y = a意味着(b yx = b yx = a x这意味着,在B,其使得所述指数X是一样的对数基极b的x倍。这为我们提供了对数函数的幂身份:

log b(a x)= x * log b(a)。

当您尝试简化对数函数时,请记住,当您在日志中看到一个指数时,可以将该指数拉到函数的前面,这将很有帮助。

实施例:日志2(16 5)= 5 *日志2(16)= 5log 2(2 4)= 5 * 4 *日志2(2)= 5 * 4 * 1 = 20。

有关电源标识的几个重要注意事项:

  1. 您“抽取”的指数不必是整数。例如:log 15(225 -4)= -4 * log 15(225)和log 3(90.125)= 0.125log 3(9)。
  2. 如果整个固定数量都应用了该指数,则只能拉出指数。
    -例如,如果固定数量为(w + y + z)a,则log b((w + y + z)a)= a * log b(w + y + z)-
    但是,如果固定数量为w a + y a,则无法简化log b(wa a + y a)。
  3. 反函数
  4. 对数的幂规则使我们得出

    log b(b x)= xlog b(b)= x

    这意味着log b(y)的反函数为b x另一方面,log b(y)是我们应用到b以获得y的指数。那意味着

    y = b log b y

    这意味着取b的x次幂的反函数是对数函数b。当您求解方程式时,在一侧有一个对数b时,您可以对整个方程式的底数b取幂,以“抵消”该对数。这就是我的意思:

    从log 13(x)= 25开始。对13求两边分别为:13 log 13 x = 13 25取消13和log 13,我们得到:x = 13 25

    同样,如果我们从8 x = 64开始,然后取双方的对数,我们将得到log 8(8 x)= log 8(64)。取消右边的log8和8,我们得到x = log 8(64)= 2。

  5. 有一个简单的公式可以计算相对于另一个基础k的log b(x):

    log b(x)=(log k(x))/(log k(b))。

    例如,日志16(32)=日志2(32)/日志2(16)= 5/4。

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