对数函数

对数函数具有三个主要部分。第一个成分是基数b；第二个成分侍定值y，即您在函数中输入的值；第三个分量是对数函数x的输出。对数函数的输出是以下问题的答案：为了达到固定值y，我必须将底数b提高到什么指数？也就是说，以b为底的对数是y的解：b ^x = y。

常规符号为log _b（y）= x，大声读为“ y的对数基数b等于x”。

示例：如果b = 2且x = 8，则对数₂（8）= 3，因为3满足方程2 ^x = 8。

另一个示例：由于10 ² = 100，所以记录₁₀（100）= 2 。

对数最常用的底数是底数b = 2，底数b = 10和底数b = e（其中e是大约等于2.718的常数）。以e为底的对数通常称为自然对数，在纯数学和微积分中有许多应用。log _e（y）的标准符号为ln（y）。日志₁₀（y）的标准符号为log（y）。如果没有给出基数，则假定它是基数10。

现在，我们已经了解了对数的基本知识，让我们看一些对数恒等式。

此标识来自乘积的指数规则：b ^x b ^w = b ^{x + w}

假设我们有两个固定值y和z，并假设知道log _b（y）= x和log _b（z）= w。这意味着b ^x = y和b ^w = z。如果将y和z相乘，则yz = b ^x b ^w = b ^{x + w}。这意味着x + w是为了达到yz的固定值而必须将b增大到的指数。那是，

log _b（yz）= log _b（y）+ log _b（z）。

这是对数的乘积规则。换句话说，log _b（yz）= log _b（y）+ log _b（z）表示乘积的对数等于因子对数的总和。

让我们计算日志₇（7 * 49）。我们注意到log ₇（7）= 1和log ₇（49）= 2。

因此，log ₇（7 * 49）= log ₇（7）+ log ₇（49）= 1 + 2 = 3。

此标识来自乘积的指数规则：（b ^x）/（b ^w）= b ^x-w

和以前一样，如果log _b（y）= x且log _b（z）= w。这意味着b ^x = y和b ^w = z。如果将y和z相除，则y / z =（b ^x）/（b ^w）= b ^x-w。

这意味着xw是为了达到y / z的固定值而必须将b提高到的指数。那是，

log _b（y / z）= log _b（y）-log _b（z）。

这是对数的商规则。换句话说，log _b（y / z）= log _b（y）-log _b（z）表示商的对数等于因子对数的差。

让我们计算日志₁₀（1 / 10,000）。我们注意到log ₁₀（1）= 0和log ₁₀（10,000）= 4。

因此，log ₁₀（1 / 10,000）= log ₁₀（1）-log ₁₀（10,000）= 0-4 = -4。您可以使用计算器检查10 ^（-4） = 1 / 10,000。

注意，b ^y = a意味着（b ^y）^x = b ^yx = a ^x。这意味着，在B，其使得所述指数^X是一样的对数基极b的x倍。这为我们提供了对数函数的幂身份：

log _b（a ^x）= x * log _b（a）。

当您尝试简化对数函数时，请记住，当您在日志中看到一个指数时，可以将该指数拉到函数的前面，这将很有帮助。

实施例：日志₂（16 ⁵）= 5 *日志₂（16）= 5log ₂（2 ⁴）= 5 * 4 *日志₂（2）= 5 * 4 * 1 = 20。

有关电源标识的几个重要注意事项：

1. 您“抽取”的指数不必是整数。例如：log ₁₅（225 ^-4）= -4 * log ₁₅（225）和log ₃（90.125）= 0.125log ₃（9）。
2. 如果整个固定数量都应用了该指数，则只能拉出指数。
   -例如，如果固定数量为（w + y + z）^a，则log _b（（w + y + z）^a）= a * log _b（w + y + z）-
   但是，如果固定数量为w ^a + y ^a，则无法简化log _b（wa ^a + y ^a）。
3. 反函数

4. 对数的幂规则使我们得出

   log _b（b ^x）= xlog _b（b）= x

   这意味着log _b（y）的反函数为b ^x。另一方面，log _b（y）是我们应用到b以获得y的指数。那意味着

   y = b ^log _b y

   这意味着取b的x次幂的反函数是对数函数b。当您求解方程式时，在一侧有一个对数_b时，您可以对整个方程式的底数b取幂，以“抵消”该对数。这就是我的意思：

   从log ₁₃（x）= 25开始。对₁₃求两边分别为：13 ^{log ₁₃ x} = 13 ²⁵。取消13和log _13，我们得到：x = 13 ²⁵。

   同样，如果我们从8 ^x = 64开始，然后取双方的对数，我们将得到log ₈（8 ^x）= log ₈（64）。取消右边的log8和8，我们得到x = log ₈（64）= 2。

5. 有一个简单的公式可以计算相对于另一个基础k的log _b（x）：

   log _b（x）=（log _k（x））/（log _k（b））。

   例如，日志₁₆（32）=日志₂（32）/日志₂（16）= 5/4。