圆的面积与圆的公式

由导师撰写

上图是X – Y坐标轴上单位圆的图形。
从图中可以看出，单位圆定义为半径（r）=1。
从象限I到象限IV，逆时针旋转，单位圆轴上的坐标点为：

（1、0），（0、1），（-1、0）和（0，-1）

当我们在单位圆周围定义X和Y坐标时，记住这一点很重要。单位圆具有360°。在上图中，单位圆分为4个象限，将单位圆分成4个相等的部分。每一块正好是90°。

问题：为什么每个部分/象限等于90°？

同样可以看出，单位圆是由四个90°角组成的，它们总共为360°：

现在，我们将单位圆分为30°，45°和60°的角度。这些是特殊的角度，记住非常重要。

让我们从象限I开始，因为这是基础，并且X和Y坐标均为正。见下文。

然后，我们进入象限II，该象限开始于90°，​​然后转到180°。从下图中，象限II中的每个角度在该象限内分别为30°，45°和60°。但是，由于这些角度在象限I中的参考点位于0°标记处，因此将根据它们从象限I到象限II所成的角度对其进行标记。例如，象限II中的45°标记为135°，因为它是从象限I中的0°到象限II中的45°角度。另外，从图中可以看出，象限II中的45°角在单位圆上介于90°和180°之间。在每个象限中以30°，45°和60°角完成此操作。见下文。

下图显示了从0°到360°的所有4个象限中单位圆的度数。

现在，我们将弧度添加到单位圆。弧度是角度测量的标准单位。
计算弧度的公式为：

我们将在上面标记的单位圆上计算每个度数的弧度。

学位	式	弧度（简体）
0度	（0°）*（π / 180°）	0
30°	（30°）*（π / 180°）= 30π / 180°弧度	π / 6
45°	（45°）*（π / 180°）= 45π / 180°弧度	π / 4
60度	（60°）*（π / 180°）= 60π / 180°弧度	π / 3
90°	（90°）*（π / 180°）= 90π / 180°弧度	π / 2
120度	（120°）*（π / 180°）= 120π / 180°弧度	2π / 3
135°	（135°）*（π / 180°）= 135π / 180°弧度	3π / 4
150°	（150°）*（π / 180°）= 150π / 180°弧度	5π / 6
180°	（180°）*（π / 180°）= 180π / 180°弧度	π / 1
210°	（210°）*（π / 180°）= 210π / 180°弧度	7π / 6
225°	（225°）*（π / 180°）= 225π / 180°弧度	5π / 4
240度	（240°）*（π / 180°）= 240π / 180°弧度	4π / 3
270°	（270°）*（π / 180°）= 270π / 180°弧度	3π / 2
300°	（300°）*（π / 180°）= 300π / 180°弧度	5π / 3
315°	（315°）*（π / 180°）= 315π / 180°弧度	7π / 4
330°	（330°）*（π / 180°）= 330π / 180°弧度	11π / 6
360度	（360°）*（π / 180°）= 360π / 180°弧度	2π / 1

下图显示了所有4个象限中的弧度测量值及其相应的角度。本文介绍了一种简单的方法来记忆单位圆上的点。

接下来，我们将在单位圆上定义X和Y坐标点。为此，我们需要了解特殊直角三角形30 – 60 – 90和45 – 45 – 90度与坐标平面的关系。记住这些直角三角形非常重要，因为它们具有某些特性，在求解三角函数时会派上用场。
下图显示了象限I中30-60-90和45-45-90度的直角三角形。

  这些三角形也可以在其他3个象限中表示，只是X和Y可能会根据象限改变符号。例如，下图显示了所有4个象限中的45-45-90度直角三角形。请注意，无论三角形位于哪个象限中，三角形的角度仍为45°，但是X和Y坐标会更改符号。例如，请注意，象限III，X和Y均为负。还要注意，r =圆的半径=三角形的斜边。该信息用于求解单位圆上的X和Y坐标。

当求解90°三角形中的X，Y或r时，我们可以使用勾股定理。
X ² + Y ² = r ²（勾股定理）
在右边，勾股定理用于求解45°角的半径。
因此，对于45°角，我们有X = 1，Y = 1，并且r =√2
而且，就半径和角度而言，X和Y可以写成：
X = r *cosθ和Y = r *sinθ
如果给出r和Θ，则可以找到X坐标。

接下来，我们将定义三角函数：

cosθ° = X / r =相邻/斜边	sinθ° = Y / r =相反/斜边	tanθ° = Y / X =对面/相邻
secθ° = r / X =斜边/相邻	cscΘ° = r / Y =斜边/相反	cotθ° = X / Y =相邻/对面

让我们求解45-45-90度三角形的三角函数，并定义X – Y坐标：

cosθ = ^X / _r正弦角= ^Y / _rtanθ° = ^Y / _Xcos45° = ¹ / _√2 = ^√2 / ₂sin45° = ¹ / _√2 = ^√2 / ₂tan45° = ^Ŷ / _X = ¹ / ₁ = 1

求解cos45°和sin45°之后，让我们定义单位圆的X和Y坐标点。
由于X = r *cosθ，Y = r *sinΘ和r = 1
对于Θ= 45°，我们有X = 1 * cos45°= ^√2 / ₂和Y = 1 * sin45°= ^√2 / ₂

以下是45°角的X和Y坐标图：

让我们求解30-60-90度三角形的三角函数，并定义X – Y坐标：

cosθ = ^X / _r正弦角= ^Y / _rtanθ° = ^Y / _Xcos30° = ^√3 / ₂sin30° = ¹ / ₂tan30° = ¹ / _√3 = ^√3 / ₃cos60° = ¹ / ₂sin60° = ^√3 / ₂tan60° = ^√3 / ₁

以下是30°和60°角的X和Y坐标图：

下表显示了与单位圆上度数相关的X，Y坐标点。

度=Θ	（X，Y）座标	度=Θ	（X，Y）座标
0度	（1，0）	210°	（-√3 / 2，-1 / 2）
30°	（√3 / 2，1 / 2）	225°	（-√2 / 2，-√2 / 2）
45°	（√2 / 2，√2 / 2）	240度	（-1 / 2，-√3 / 2）
60度	（1 / 2，√3 / 2）	270°	（0，-1）
90°	（0，1）	300°	（1 / 2，-√3 / 2）
120度	（-1 / 2，√3 / 2）	315°	（-√2 / 2，-√2 / 2）
135°	（-√2 / 2，√2 / 2）	330°	（√3 / 2，-1 / 2）
150°	（ - √3 / 2，1 / 2）	360度	（1，0）
180°	（-1，0）

要记住的关键公式：
X = r *cosΘY
= r *sinΘ
在单位圆上，半径（r）= 1
勾股定理：X ² + Y ² = r ²