二次方程,二次函数

构造二次方程

 我们发现多项式是两个或多个二项式的乘积。让我们考虑简单的平等

 如果两个量相乘得到零，a = 0或b = 0？或两者？

 接下来的平等呢

  其中我们替换了a =（x-2）和b =（x + 3）。不X - 2 = 0 或X + 3 = 0，或者他们都等于零？

  由于此属性，我们可以将乘积分解为两个方程，然后求解x。

 求解x，我们得到两个不同的值：x = 2和x = -3

 因此，我们有了解决方案，但这意味着什么？观察方程式，我们可以看到它们可以作为两个单独的线性方程式使用。让我们将这两个等式都设置为等于y，并在图形上显示它们，以查看将它们相乘时是否可以看到正在发生的情况。

  我们可以看到线在-3和2处到达x轴（其中y等于0）的位置。现在，我们将这些线性方程式相乘时绘制函数图。

  使用将两个二项式相乘的FOIL方法，我们得到函数

  我们有一个次数为2的多项式函数，称为二次函数。使用旧的fasion方法插入x值，我们可以获得它们对应的y值并绘制函数图。

绘制点，我们获得抛物线的图像。

  所有二次方程式都形成抛物线的图像。看一下与线性方程有关的曲线，我们可以对它们之间的关系作一些推测。

  首先，请注意，X线性方程的截距也二次函数的x截距。这是有道理的，因为二次函数是两个线性方程的乘积。线性方程只有一个值使其为0-，但是当x为-3或2时，二次函数（它们的乘积）为0 。

  观察y截距，我们可以看到线性方程y = x + 3的y截距为y = 3，方程y = x-2的y截距为y = --2，而线性方程y的y截距二次函数为y = -6。它们之间有关系。实际上，抛物线的y截距是线性方程式y截距的乘积！

  实际上，我们可以进一步扩展。两个线性方程的y值在任意给定的x值处的乘积将产生二次函数的y值！这就是x截距相同的原因，因为如果一个y值等于零，则该x值处的二次函数的y值将为0。

  进一步分析该图，我们可以做出更多猜想。有趣的是，抛物线的顶点（抛物线切换方向或垂直对称线接触抛物线的位置）恰好是两个线性方程之间的距离x轴相同的位置。这是说明这些猜想的图表

相关线性方程和二次方程

• 二次可以表示为线性表达式的乘积。
• 二次函数具有与其线性乘积相同的x截距。
• 二次函数的y截距是其线性分量的y截距的乘积。
• 可以通过其线性分量的y值的乘积来找到二次函数的y值。
• 如果线性方程的乘积或y值为正，则二次方程的y值将为正。如果线性方程的y值的乘积为负，则二次方程的y值将为负。
• 二次函数的顶点位于x截距之间的位置，其中：如果抛物线朝上是最低点，如果抛物线朝下打开是最高点。
• 使用这些猜想，让我们尝试构造给定两条线的抛物线。
• 
• 查看两条直线的x截距，我们知道抛物线也将具有这些x截距。

乘以y截距：2 * -3，我们得到抛物线的y截距：-6。

我们也知道顶点恰好位于x截距之间。我们可以画一条垂直线，使其看起来更加清晰。

  你看到抛物线了吗？我们知道它同时经过两个x截距，并且因为y截距在x截距之下，所以抛物线必须向下打开。我们也知道顶点恰好在两个x截距之间。我们可以通过在对称线到达x轴的x值处乘以线性分量的y值来找到顶点的y值。一旦获得顶点的y值，就可以绘制抛物线。

  我们用给定的两条直线构造了抛物线的图像，并且在没有直线方程的情况下做到了。这种从两行构造抛物线的方法不是很流行，并且肯定有更简单的绘制二次函数图的方法，但是进行此活动以熟悉二次函数以及它们与线性函数的关系是有益的。

二次表达式

二次表达式定义为2 阶多项式，这意味着前导项具有指数 为2的变量。

二次多项式也可以因式形式作为两个二项式的乘积给出。我们已经看到它们可以表示为线性表达式的乘积。

例如：

当这些表达式扩展时，它们具有二次方的一般形式：

将二次表达式定义为函数时，它们可以采用两种不同的形式-常规和顶点形式。

二次函数的形式

一般形式

二次函数的一般形式为：

当二次表达式与0等同于，它是那么二次方程式。

这是二次方程在我们使用它们时最常见的形式，它也是将两个二项式相乘后的简化形式。以这种形式，当且仅当a不等于0时，该表达式才是二次方。如果a不等于0，则该表达式变为线性。

拥有字母变量前面的字母系数的一般形式的最重要方面可能是通过使用二次公式找到方程的根或x截距。

在一般形式，系数一确定抛物线或打开了。如果系数a为正，则抛物线将向上打开。如果为负，它将向下打开。

顶点形式

二次函数也可以用“顶点形式”编写，让我们用代数形式表示抛物线顶点的位置。顶点还是抛物线的最小值或最大值，这取决于它是向上打开还是向下打开。

顶点 的点（x，y）由等式中的（h，k）给出

其中h和k可以用一般形式的系数a，b和c来表示

给定一般形式的二次函数，找到其顶点的坐标并以顶点形式重写该函数。

我们将一般形式系数插入到h和k的方程式中

二次函数的顶点是（1,3）

保理形式

二次函数的因式形式清楚地给出了方程的根或x截距。

其中x1和x2是x的截距。如前所述，这种形式还为我们提供了二次线性分量的乘积。

以分解形式画出二次函数

找出二次方程的根

当二次函数等于0时，它们将被视为二次方程。

通过找到方程的根，即抛物线的x截距，可以求解二次方程。这就是抛物线碰到x轴的地方。

其中m和n被视为等式的根（m，0） 和（n，0）。

有很多不同的方法可以找到二次方程的根。鉴于我们拥有的信息，有些比其他的有用。

绘图

给定该图，我们可以看到抛物线接触x轴的位置。

  我们可以在该图中看到抛物线在两个位置接触x轴：（-2,0） 和（3,0）。因此，方程的根是-2和3。然后可以将方程写为乘积。

有时，查看根的位置并不容易。我们也可以代数求解根。

二次方

的二次公式 可以用于求解给定任何二次方程的一般形式的根源。它也可以用来确定二次方程有多少个根。

二次多项式的基本定理

假设m和n是使得

m和n的总和为18，乘积为10。求解m的第二个方程，然后代入第一个方程，我们得到

我们可以将两边都乘以n并将所有项放在一边以得到

注意，这看起来像一般形式的二次方程。这不是巧合。该二次方程式的解或根是两个数字，它们的总和为10，乘积为18。该结果称为Viete定理，这通常被称为二次多项式的基本定理。

*如果m和n是x ² + bx + c = 0的解

在其前项的系数为1的任何二次多项式中，根的总和为第二项（x项）的系数的负数，而根的乘积为最后一项（常数项）。

换句话说，给定二次方程的一般形式

如果a = 1，

-b =二次多项式的根的总和

c =二次多项式的根的乘积

这与（请记住a = 1）相同

上面的关系用于通过分解来寻找二次方程的根。