三角函数和指数函数的关系

  指数函数通常用于建模以指数速率增加或减少的自然现象。例如，细菌和许多其他种群可以指数级增长。放射性物质的数量通常会以指数速率减少。我们计算利息的方式是指数函数。该值通常随时间变化，因此您会看到使用自变量而不是x编写的指数函数。

  最基本的指数函数形式为f（x）= ab ^x。暂时假设b必须大于1。这意味着如果a为正，则指数函数看起来像这样。

  对于此特定示例，函数为f（x）= 2 ^x。重要的是要注意该图包括点（0,1）。实际上，此基本形式的所有指数函数都将包含点（0，a）。对于任何b≠0的值，确实a = a·b ⁰。f（x）= 2 ^x可以写为f（x）= 1·2 ^x，因此它包括点（0,1）。因为独立值通常在指数函数中为t；这个值a对应于t = 0时的值。所以我们称它为初始值。另一个易  于定位的点是值（1，a·b）。这是因为a·b = a·b ¹。值b表示该值的增长速度。由于b大于1，因此上述函数表示指数增长。如果允许b在0到1之间变化，则该函数表示指数衰减。指数衰减如下所示：

此函数为f（X）=（¹ / ₂）^X。您可能会注意到，这也是f（x）= 2 ^-x的函数。这意味着您可以将此函数生成为原始最“基本”函数f（x）= 2 ^x的图形转换。在您将f（-x）= 2 ^-x视为围绕y轴的反射的情况下。

同样，您可能会看到f（x）= 2 ^x到-f（x）= -2 ^x的图形变换，这是有关x轴的反射。

最后，将f（x）= 2 ^x转换为-f（-x）= -2 ^-x。在此，图形变换是在y轴上的反射，然后是在x轴上的反射。如下所示：

将它们视为转换的好处是，您只需要记住最基本的指数函数的图，就可以找到其他作为图转换的对象，而不必全部记住它们。

有关指数函数的典型问题通常守于寻找函数本身。例如：如果我知道一个细菌种群有一百个成员开始，一个小时后有400个成员，那么模拟其生长的指数函数是什么？

对于这个问题，你会与基本功能开始：

F（T）= AB^牛逼

我们发现b口也知道，功能包括点（1,400）这样：

400 = 100B <sup>1

400</sup> / ₁₀₀ = B

4 = B

所以模拟细菌生长的最终函数是：

f（t）= 100（400 ^t）

这意味着我可以预测例如三个小时内的种群数量。

f（3）= 100（400 ³）= 6400000000细菌。

还有另一个更困难的问题：

假设我知道一个岛上的兔子数量是50，而两年后是300。f

（t）= ab ^t

我知道初始值是50，所以a = 50。

f（t）= 50b ^t

而且我也知道点（2,300）在图上。

300 = 50b的<sup>2

300</sup> / ₅₀ = B ²

6 = B ²

B =±√6

指数函数没有负基准值，从而：

F（T）=50√6^吨