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平行四边形的属性

时间:2020-10-20 14:35:38

我们用来描述任何形状的最广泛的术语是“多边形”。当我们 在上一节中讨论四边形时,实际上只是指定它们是具有四个顶点和四个边的多边形尽管如此,我们在本节中将更加具体,并讨论一种特殊的四边形:平行四边形但是,在进行此操作之前,让我们先了解一些定义,这些定义将帮助我们描述四边形的不同部分。

四边形术语

由于整个部分都专门研究四边形,因此我们将使用一些术语来帮助我们描述四边形的特定线对,角度和顶点。现在让我们研究这些术语。

连续角度

顶点为同一侧端点的两个角度称为连续角度

20201020134005.png

因为Q和R是同一侧的端点,所以θQ和θR是连续的角度。

对角

不连续的两个角度称为相反角度

20201020134208.png

因为Q Q和θS不诗共边的端点,所以它们是相反的角度。

连续方

相交的四边形的两个边称为连续边

20201020134248.png

QR和RS是连续的边,因为它们在点R相遇。

对面

不连续的两个边称为相反的边

20201020134336.png

QR和TS是四边形的相对侧,因为它们不相交。

现在,我们了解了这些术语指的是什么,我们准备开始关于平行四边形的课程。

平行四边形的属性:侧面和角度

平行四边形是一种四边形,其成对的相对边是平行的。

20201020134518.png

四边形ABCD是平行四边形,因为ABDC和AD公元前。

尽管平行四边形的定义特征是它们的平行的相对边对,但是我们还有其他方法可以确定四边形是否为平行四边形。我们将在两列几何证明中使用这些属性,以帮助我们推断出有用的信息。

如果四边形是平行四边形,则。

(1)相对的两边都一致,

(2)它的对角是全等的,并且

(2)其连续的角度是互补的。

值得注意的另一个有关平行四边形的重要属性是,如果平行四边形的一个角度是直角,则它们都是直角。为什么此属性为真?让我们仔细检查这种情况。考虑下图。

20201020134639.png

假设θJ是直角, 由于平行四边形的相对边是全等的,我们也可以确定θL是直角。这些角度的总和为180,因为

20201020134716.png

 我们也知道,其余的角度必须相等,因为它们也是相反的角度。通过多边形内部角度和定理,我们知道所有四边形的角度量度总计360由于?J ?L的总和为180,我们知道?K ?M的总和也将为180

20201020134803.png

   由于?K?M是全等的,我们可以用相同的变量x定义它们的度量所以我们有

20201020134839.png

因此,我们知道θKθM都是直角。我们的最终插图如下所示。

20201020134910.png

让我们进行一些练习,以使用平行四边形的边和角属性进行练习。

练习1

假设QRST是平行四边形,请 在下图中找到xy的值

20201020134940.png

解:

在检查了该图之后,我们意识到 首先解决x会更容易,因为yx使用相同的表达式 (在?R中),但x本身位于QR由于平行四边形的相对边是全等的,因此我们可以将数量设置为彼此相等并求解x:

20201020135012.png

既然我们已经确定x的值为7,我们可以使用它来插入?R中给出的表达式我们知道 ?R?T是全等的,所以我们有

20201020135049.png

替代X7,我们得到

20201020135121.png

因此,我们确定x = 7y = 8

练习2

假设EDYF是平行四边形,请确定xy的值

20201020135155.png

解:

为了解决这个问题,我们将需要使用平行四边形的连续角度是补充的事实。我们最初可以确定的唯一角度是顶点Y的角度,因为它所需要的只是添加角度。我们有

20201020135229.png

知道?Y的度量值为115,这将使我们能够求解xy,因为它们都位于与?Y连续的角度中让我们求解y我们有

20201020135304.png

现在剩下需要解决的就是x我们将使用与求解y时相同的方法

20201020135354.png

因此,我们有x = 10y = 13

平行四边形的边和角度并不是唯一的特征。让我们学习更多平行四边形的定义属性。

平行四边形的属性:对角线

当我们指的是平行四边形对角线时,我们所讨论的是可以从不由线段连接的顶点绘制的线。每个平行四边形将只有两个对角线。下图显示了平行四边形的对角线。

20201020135432.png

我们有两个重要的属性,涉及平行四边形的对角线。

如果四边形是平行四边形,则。

(1)对角线一分为二,并且

(2)每个对角线将平行四边形分成两个相等的三角形。

20201020135503.png

线段AE和CE彼此一致,这是因为对角线在点E处相交,从而将它们一分为二。段BE和DE也是一致的。

20201020135532.png

两个对角线将平行四边形划分为相等的三角形。

让我们使用这些属性来解决以下练习。

练习3

假设ABCD是一个平行四边形,请找到x的值

20201020135619.png

解:

我们知道,平行四边形的对角线一分为二。这意味着点E将每个等分线分成两个相等的线段。因此,我们知道DEBE是一致的,所以我们有

20201020135653.png

因此,x的值为3

练习4

假设FGHI是平行四边形,请找到xy的值

20201020135729.png

让我们尝试先求解x鉴于我们知道FHI 是直角,所以它的大小为90°根据交替内角定理,我们可以得出?HFG也是直角

如果看?HIJ,我们注意到它的两个角度是全等的,所以它是一个等腰三角形。这意味着?HIJ的度量值为9x,因为?IJH的度量值为9x

我们可以利用以下事实:三角形具有直角,并且其中有两个全角,以便求解x我们将使用“三角形角度总和定理”来证明角度之和必须等于180°

20201020135800.png

现在,让我们求解y我们知道,段IJ GJ是一致的,因为它们被相反的对角线一分为二。因此,我们可以将它们设置为彼此相等。

因为我们可以说IJGJ 是一致的,所以我们有

20201020135833.png

因此,我们的答案是x = 5y = 4

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