令P(x 1,y 1)和Q(x 2,y 2)是笛卡尔平面(或xy –平面)中的两个点,彼此之间的距离为d。
那是
d = PQ
根据坐标的定义,
OM = x 1 开= x 2 |
MP = y 1 NQ = y 2 |
第1步 :
现在,(PR ⊥ NQ)
PR = MN
(矩形MNRP的相对侧)
第2步 :
找出MN的长度。
MN =开-OM
MN = x 2 -x 1
第三步:
找到RQ的长度。
RQ = NQ-NR
RQ = y 2 -y 1
第4步 :
三角形PQR在R.弯角 (PR ⊥ NQ)
根据毕达哥拉斯定理,
PQ 2 = PR 2 + RQ 2
d 2 = (x 2 -x 1)2 + (y 2 -y 1 )2
通过取正平方根,
d = √[ (x 2 -x 1)2 + (y 2 -y 1 )2 ]
给定两个点(x 1,y 1)和(x 2,y 2),这些点之间的距离由公式给出
√[(x 2 -x 1)2 + (y 2 -y 1 )2 ]
范例1:
找到下面给出的两点之间的距离。
(-12,3)和(2,5)
解:
两点之间的距离的公式是
√[(x 2 -x 1)2 + (y 2 -y 1 )2 ]
替换(x 1,y 1)=(-12,3)和 (x 2 ,y 2 )=(2,5)。
= √[(2 + 12) 2 +(5-3) 2 ]
= √[14 2 + 2 2 ]
= √[196 + 4]
= √200
= √(2 ⋅10 ⋅10)
= 10 √2
因此,给定点之间的距离为 10√2单位。
范例2:
找到下面给出的两点之间的距离。
(-2,-3)和(6,-5)
解:
两点之间的距离的公式是
√[(x 2 -x 1)2 + (y 2 -y 1 )2 ]
替换(x 1,y 1)=(-2,-3)和 (x 2 ,y 2 )=(6,-5)。
= √[(6 + 2) 2 +(-5 + 3) 2 ]
= √[8 2 +(-2) 2 ]
= √[64 + 4]
= √68
= √(2 ⋅2 ⋅17)
= 2 √17
因此,给定点之间的距离为2√17单位。
例子3:
如果下面给出的两点之间的距离是2√29 ,则在k> 0的情况下找到k的值。
(-7,2)和(0,k)
解:
上述两点之间的距离= 2√29
√[(x 2 -x 1)2 + (y 2 -y 1 )2 ] = 2√29
代入(x 1,y 1)=(-7,2)和 (x 2 ,y 2 )=(3,k)。
√[(3 + 7)2 + (k -2 )2 ] = 2√29
√[10 2 + (k -2 )2 ] = 2√29
√[100 + (k -2 )2 ] = 2√29
方形两边。
100 + (k -2 )2 =( 2√29)2
100 + ķ 2 - 2(k)的(2)+ 2 2 = 2 2( √29)2
100 + ķ 2 - 4K + 4 = 4(29)
ķ 2 - 4K + 104 = 116
每边减去116。
ķ 2 - 4K - 12 = 0
(k-6)(k + 2)= 0
k-6 = 0或k + 2 = 0
k = 6或k = -2
因为k> 0,我们有
k = 6
例子4:
在下面显示的xy窗格中找到点A和B之间的距离。
解决方案:
确定上方xy平面中的点A和B。
两点之间的距离的公式是
√[(x 2 -x 1)2 + (y 2 -y 1 )2 ]
为了找到点A和B之间的距离,请代入(x 1,y 1)=(2,-3)和 (x 2 ,y 2 )=(5,5)。
AB =√[(5-2)2 +(5 + 3)2 ]
AB =√[3 2 + 8 2 ]
AB =√(9 + 64)
AB =√73单位
.