圆形四边形的相反角度是补充证明

定理

循环四边形的对角是互补的（或）  循环四边形的对角之和是180 °

给定：O是圆心。ABCD是循环四边形。

证明：  ∠BAD+∠BCD= 180 °，∠ABC+∠ADC= 180 °

建设：OB和OD

证明：

（ⅰ）  ∠ BAD =（1/2）∠ BOD。

（中心的弧线所占据的角度是圆上的角度的两倍。）

（ii）  ∠BCD =（1/2）反射  ∠BOD。

（ⅲ）  ∠ BAD +  ∠ BCD =（1/2）∠ BOD +（1/2）反射  ∠ BOD。

添加（i）和（ii）。

∠BAD +  ∠BCD =（1/2）（∠BOD +反射  ∠BOD）

∠BAD +  ∠BCD =（1/2）  ⋅ （360 °）

（中心的完整角度为360 °）

∠BAD +  ∠BCD = 180 °

（iv）类似地，  ∠ABC+∠ADC= 180 °。

实践问题

问题1：

在下面给出的图中，O是圆的中心，∠ADC= 120 °。找到x的值。

解决方案：

ABCD是一个循环的四边形。我们有

∠ABC +  ∠ADC = 180 °

∠ABC = 180 °  -120 °

∠ABC   = 60 °

也  ∠ ACB = 90 °  （上半圈角）。

在三角形ABC中，

∠BAC +  ∠ACB +  ∠ABC = 180 °

∠BAC + 90 °  + 60 °   = 180 °

∠BAC = 180 °  -150 ° 

∠BAC   = 30 °

因此，x的值为30 。

问题2：

在下面给出的图中，ABCD是一个循环四边形，其中  AB || DC。如果  ∠BAD = 100 °，则  找到。

（ⅰ）  ∠ BCD

（ⅱ）  ∠ ADC

（ⅲ）  ∠ ABC

解决方案：

∠BAD +  ∠BCD = 180 °

100 °  +  ∠BCD = 180 °

∠BCD = 180 °  -100 °

∠BCD = 80 °

因为AB || DC和AD是横向的， 

∠不良+  ∠ADC= 180 °

100 °+  ∠ADC = 1 80 °

从两侧减去180 °。 

∠ADC =  80 °

∠ ADC  +  ∠ ABC = 180 °

80 °  +  ∠ABC = 180 °

∠ABC = 180 °  -80 °

∠ABC = 100 °

问题3：

在下面给出的图中，ABCD是环状四边形在  其中  ∠ BCD = 100 °  和  ∠ ABD = 50 °  找到  ∠ ADB。 

解决方案：

∠DAB +  ∠DCB = 180 °

∠DAB + 100 °   = 180 °

∠DAB = 180 °  -100 °

∠DAB = 80 °

在三角形ADB中，

∠DAB +  ∠ABD +  ∠ADB = 180 °

80 ° + 50 °  +  ∠ADB   = 180 ° 

130 °  +  ∠ADB = 180 °

从两侧减去130 °。

∠ 亚行= 180 °