因式分解法解一元二次方程步骤

因式分解法解一元二次方程步骤

我们知道，一元二次方程都可以用公式法来解。对于某些系数较为特殊的方程，例如χ² = 4 ，用直接开方法就比较简便。现在我们再来学习一种简便的方法------因式分解法。
例如，对于方程
χ² = 4
除了直接用直接开方法来解以外，也可用下面的方法来解。
移项，得
χ² - 4 = 0 。
这个方程的右边是0，左边可以分解成两个一次因式的积，就是
χ² - 4 = (χ - 2)(χ + 2) 。
因此，这个方程可变形为
(χ - 2)(χ + 2) = 0 。
我们知道，如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少要有一个等于零；反过来，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零。例如：要使(χ - 2)(χ + 2) 等于零，必须并且只需
χ - 2 等于零或χ + 2 等于零。因此，解方程

 

(χ - 2)(χ + 2) = 0

就相当于解方程χ - 2 = 0 或χ + 2 = 0 了。进一步解这两个一次方 程，得到χ = 2 或χ = -2。
所以，原方程χ² = 4 的两个根为

χ ₁= 2 、 χ₂ = -2

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。在一元二次方程的一边是零而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解。

例题1 ：

解方程：(1) χ² -3χ -10 = 0 ； (2) (χ + 3)(χ -1) = 5。
解 (1) 把方程的左边分解因式，得
(χ - 5)(χ + 2) = 0
χ - 5 = 0 或χ + 2 = 0
∴ χ₁ = 5、 χ ₂ = -2 。
(2) 原方程可变形为
χ2 + 2χ - 3 = 5，

即
χ² + 2χ -8 = 0 。
把方程的左边分解因式，得
(χ - 2)(χ + 4) = 0
χ - 2 = 0 或χ + 4 = 0
∴ χ ₁= 2 、χ ₂= -4 。

例题2 解方程： (1) 3χ(χ + 2) = 5(χ + 2) ；

(2) (3χ +1)² - 4 = 0。

(1) 原方程就是
3χ(χ + 2) - 5(χ + 2) = 0 。
把方程的左边分解因式，得
(χ + 2)(3χ - 5) = 0
χ + 2 = 0 或3χ -5 = 0

(2) 把方程的左边分解因式，得
[(3χ +1) + 2][(3χ +1) - 2] = 0 ，
即
(3χ + 3)(3χ -1) = 0。
χ +1 = 0或3χ -1 = 0