趋近,有时我们不能直接计算某个值……可是我们可以去看看逐渐接近它时的情形!
(x2 − 1)(x − 1)
求 x=1 的值:
(12 − 1)(1 − 1) = (1 − 1)(1 − 1) = 00
0/0 不好做!没有人知道 0/0 是多少(它是 "不确定的"),所以我们要另辟蹊径。
我们不直接求当 x=1 的值,我们 趋近 它来看看:
x | (x2 − 1)(x − 1) | |
0.5 | 1.50000 | |
0.9 | 1.90000 | |
0.99 | 1.99000 | |
0.999 | 1.99900 | |
0.9999 | 1.99990 | |
0.99999 | 1.99999 | |
…… | …… |
现在我们看到当 x 越来越接近 1 的时候, (x2−1)(x−1) 越来越接近 2
这很有趣:
我们想说:"答案就是 2",但我们不能这样说,所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况:"极限"
当 x 趋近 1 时,(x2−1)(x−1)的极限 是 2
用符号来写就是:
我们可以这样理解: "不管在那里是什么,当 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"
在图上是这样的: 因此,实际上我们不能说当 x=1 时的值是多少。 但我们可以说:"趋近 1 时,极限是 2。" |
就像想看山顶是什么样的,如果我们只看山的一边,我们是看不到所有景象的,所以我们需要从两个方向都检验,来确定答案 "应该" 是多少!
x | (x2 − 1)(x − 1) | |
1.5 | 2.50000 | |
1.1 | 2.10000 | |
1.01 | 2.01000 | |
1.001 | 2.00100 | |
1.0001 | 2.00010 | |
1.00001 | 2.00001 | |
... | ... |
也是趋近 2,所以没问题,
两边的答案不一样
如果函数 f(x) 有个"间隙",像这样:
极限在 "a" 处不存在
我们不能说在 "a" 的值是多少,因为有两个可能答案:
我们可以用特定的 "−" 或 "+" 符号(如下)来为一边的极限下定义:
但一般的极限"不存在"
只有复杂的函数才有极限吗?就算我们真的知道函数在一点的值,我们也可以用极限!不一定要是复杂的函数.
我们知道 10/2 = 5,但我们仍然可以用极限(随你便!)
趋近无穷大
无穷大 是个很特别的概念。我们知道不能达到无穷大,但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。
问题:1∞ 的值是多少? |
答案:不知道! |
简单的答案是:无穷大不是个数,它是个概念。
所以1∞ 就好像1美 or 1高一样。
我们也许可以说1∞= 0 …… 但这样也不对,因为如果我们把 1 切开成无穷多的小部分而每个部分是 0,那么整体怎么会是 1 呢?
其实1∞ 是 未定义的。
我们无法计算在无穷大的值(因为得不到合理的答案),我们尝试越来越大的 x值:
当 x 越来越大时,1x 越来越接近 0
这很有意思:
我们想说答案是 "0",但我们不可以,所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形:
当 x 趋近无穷大时,1x 的 极限 是 0
写下来是:,
当 x 趋近无穷大时,1x 趋近 0,当你看到 "极限" 时,想:"趋近"
这是用数学的语言来说:" 我们不是说当 x=∞,但我们知道当 x 越来越大时,答案便越来越接近 0"。去这里看 在无穷大的极限。
解!这好像有点偷懒和取巧,说一个极限等于某个值因为它好像越来越接近那个值,这是不够的!
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