首页 > 实用工具

极限入门基本公式

时间:2020-11-27 16:52:37

  趋近,有时我们不能直接计算某个值……可是我们可以去看看逐渐接近它时的情形!

例子:

(x2 − 1)(x − 1)

 求 x=1 的值:

(12 − 1)(1 − 1) = (1 − 1)(1 − 1) = 00

  0/0 不好做!没有人知道 0/0 是多少(它是 "不确定的"),所以我们要另辟蹊径。

  我们不直接求当 x=1 的值,我们 趋近 它来看看:

例子(续):

x   (x2 − 1)(x − 1)
0.5   1.50000
0.9   1.90000
0.99   1.99000
0.999   1.99900
0.9999   1.99990
0.99999   1.99999
……   ……

  现在我们看到当 x 越来越接近 1 的时候, (x2−1)(x−1) 越来越接近 2

  这很有趣:

  我们想说:"答案就是 2",但我们不能这样说,所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况:"极限"

当 x 趋近 1 时,(x2−1)(x−1)极限  2

  用符号来写就是:

当 x 趋近 1 时 (x^2-1)/(x-1) 的极限 = 2

  我们可以这样理解: "不管在那里是什么,当 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"

在图上是这样的:

因此,实际上我们不能说当 x=1 时的值是多少。

但我们可以说:"趋近 1 时,极限是 2。"

  图缺口

  就像想看山顶是什么样的,如果我们只看山的一边,我们是看不到所有景象的,所以我们需要从两个方向都检验,来确定答案 "应该" 是多少!

例子(续)好,我们从另一边来:

x   (x2 − 1)(x − 1)
1.5   2.50000
1.1   2.10000
1.01   2.01000
1.001   2.00100
1.0001   2.00010
1.00001   2.00001
...   ...

  也是趋近 2,所以没问题,

  两边的答案不一样

非连续函数

  如果函数 f(x) 有个"间隙",像这样:

极限在 "a" 处不存在

  我们不能说在 "a" 的值是多少,因为有两个可能答案:

  • 3.8 (从左边)
  • 1.3 (从右边)

  我们可以用特定的 "−" 或 "+" 符号(如下)来为一边的极限下定义:

  • 左边 的极限(−)是 3.8
  • 右边 的极限(+)是 1.3

  但一般的极限"不存在"

  只有复杂的函数才有极限吗?就算我们真的知道函数在一点的值,我们也可以用极限!不一定要是复杂的函数.

例子:

当 x 趋近 10 时 x/2 = 5 的极限

  我们知道 10/2 = 5,但我们仍然可以用极限(随你便!)

  趋近无穷大

20201127164925.png

  无穷大 是个很特别的概念。我们知道不能达到无穷大,但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。

  我们先看一个有趣的例子。

问题:1 的值是多少?

答案:不知道!

  为什么不知道?

  简单的答案是:无穷大不是个数,它是个概念。

  所以1 就好像1 or 1一样。

  我们也许可以说1= 0 …… 但这样也不对,因为如果我们把 1 切开成无穷多的小部分而每个部分是 0,那么整体怎么会是 1 呢?

其实1  未定义的

  但我们可以趋近它!

  我们无法计算在无穷大的值(因为得不到合理的答案),我们尝试越来越大的 x值:

20201127165033.png

  当 x 越来越大时,1x 越来越接近 0

  这很有意思:

  我们想说答案是 "0",但我们不可以,所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形:

当 x 趋近无穷大时,1x  极限  0

  写下来是:20201127165114.png,

  当 x 趋近无穷大时,1x 趋近 0,当你看到 "极限" 时,想:"趋近"

  这是用数学的语言来说:" 我们不是说当 x=,但我们知道当 x 越来越大时,答案便越来越接近 0"。去这里看 在无穷大的极限。

  解!这好像有点偷懒和取巧,说一个极限等于某个值因为它好像越来越接近那个值,这是不够的!

载入中…
点这里查看与之相关的计算

.

条评论

昵称: 需审核请等待!

密码: 匿名发表

验证码:

载入中…

.

.
分享到: