函数复合的步骤和函数复合的公式

  函数复合是把一个函数的输出作为另一个函数的输入：

意思是：g(f(x))。复合后的函数叫复合函数。

例子：f(x) = 2x+3，g(x) = x²

"x" 只是个位置标志符，为简单起见，在这里我们称之为 "输入"：

f(输入) = 2(输入)+3

g(输入) = (输入)²

开始：

(g º f)(x) = g(f(x))

先运用 f，然后在结果上运用 g：

如果我们把 f 和 g 的次序掉转呢？

(f º g)(x) = f(g(x))

先运用 g，然后在结果上运用 f：

(f º g)(x) = 2x²+3

  得到不同的结果！所以我们要小心函数的先后次序。

  符号

  函数复合的符号是个小圆圈（或空心圆点）：

(g º f)(x)

它不是个实心圆点：(g · f)(x) 的意思是相乘。

  与自己复合
  你甚至可以把函数与自己复合！

例子：f(x) = 2x+3  (f º f)(x) = f(f(x))

  先运用 f，然后在结果上运用 f：

(f º f)(x) = 2(2x+3)+3 = 4x + 9

  不用画图也可以解：

(f º f)(x)	= f(f(x))
	= f(2x+3)
	= 2(2x+3)+3
	= 4x + 9

  定义域

   

 

  相当容易！但有一点复杂的是，你要考虑函数的定义域。

定义域是函数所有输入值的集.

函数要可以运用在所有的输入上，所以你要自己决定用正确的定义域！

 

 例子：√x（x 的平方根）的定义域

  负数是没有平方根的（除非用虚数，但在这里我们不用），所以定义域不能包括负数：

√x 的定义域是所有非负实数

  在实数直线上像这样：

  用集合建构式符号表达就是：

{ x | x ≥ 0}

  用区间符号表达就是：

[0,+∞)

  定义域一定要正确，不然结果就会有问题了！

  复合函数的定义域
  两个定义域都要正确（符合函数和第一个函数）。

  例如，(g º f)(x) = g(f(x))：

  f(x) 的定义域要正确，
  g(x) 的定义域也要正确

例子：f(x) = √x and g(x) = x²

  f(x) = √x 的定义域是所有非负实数

  g(x) = x² 的定义域是所有实数

  复合函数是：

(g º f)(x)	= g(f(x))
	= (√x)2
	= x

  通常 "x" 的定义域是所有实数 ，但因为在这里它是个复合函数，所以我们也要考虑 f(x) 的定义域

  因此，这个复合函数的定义域是所有非负实数，

  为什么要考虑两个定义域？
  想象函数是机器，第一个函数用火烧一个洞（只能在金属上烧)，第二个函数把洞钻大一点（可以钻木头或金属）：

你看到最后结果是的钻出来的洞，所以你可能以为这个复合机器用在木头和金属上都可以。 但是，如果你把木头放进 g º f 这个复合机器里，第一个函数 f 就会把木头烧掉！

  所以 "机器里面" 的运作是重要的。

  分解函数，你也可以反过来把一个函数分解成几个函数的复合。

例子： (x+1/x)²

这个函数可以是几个函数的复合：

f(x) = x + 1/x

g(x) = x²

结果是：

(g º f)(x)	= g(f(x))
	= g(x + 1/x)
	= (x + 1/x)2

  有时这个方法可以帮助我们简化一个复杂的函数。

  总括
  "函数复合" 是把一个函数的输出作为另一个函数的输入。
  (g º f)(x) = g(f(x)), 先运用 f()，然后运用 g()
  一定要符合第一个函数的定义域
  有一些函数可以被分解成两个或以上比较简单的函数。