导出复利公式推导和导出复利公式计算

  复利的计算是先计算第一期的利息，把利息加到本金上，然后用新的本金计算下一期的利息，就这样重复下去：

  做个公式

  我们先看第一年：

￥1,000.00 +（￥1,000.00 × 10%）= ￥1,100.00

  可以重排为：

加 10% 就是乘以 1.10

（注意：把利率除以 100 来转换为小数：10% = 10/100 = 0.10，去这里学习百分比。）

  公式在任何年份都适用：

• 我们可以这样求下一年的利息：￥1,100 × 1.10 = ￥1,210
• 再下一年：￥1,210 × 1.10 = ￥1,331
• 等等……

  像这样：

  这样乘 5次，我们就可以直接计算第五年的金额：

￥1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = ￥1,610.51

  用指数（幂）来写比较简单：

  公式
  上面是个实例，但我们也可以用字母和符号做一个一般通用的公式：

  （和上面的计算比较一下：PV = ￥1,000, r = 0.10, n = 5, and FV = ￥1,610.51）

• 如果是年利率，n 便是年数
• 如果是月利率，n 便是月数
• 等等

   例子：我们现在来看一些例子，如果年期是 15年呢？……改变 "n" 的值：

  如果年期是 5年，但利率是 6% 又怎么样？

（注意乘数是 1.06，不是 1.6）

  四个公式，所以复利的基本公式是：FV = PV (1+r)ⁿ

• FV = 终值、
• PV = 现值、
• r = 利率（以小数表达）、
• n = 期数

  如果已知现值 PV、利率 r和期数 n，我们可以用这个公式来求终值 FV，我们可以重排公式来求现值、利率或期数，如果我们已经知道另外三个变量。

  这是四个公式：

FV = PV (1+r)n		求终值e，如果已知现值、利率和期数。
PV = FV / (1+r)n		求现值，如果已知终值、利率和期数。
r = ( FV / PV )1/n - 1		求利率，如果已知现值、终值和期数。
n = ln(FV / PV)ln(1 + r)		求期数，如果已知现值、终值和利率

 这些公式是怎样来的？

  求现值

  例子：小山想在 5年后有 ￥2,000，年利率是 10%，他一开始需要多少钱？这就是说，已知终值，想求现值。

  重排基本公式，每边除以 (1+r)ⁿ：

开始：		FV = PV (1+r)n
换边：		PV (1+r)n = FV
每边除以 (1+r)n:		PV = FV(1+r)n

  答案：

 例子（续）：PV = ￥2,000 / (1+0.10)⁵ = ￥2,000 / 1.61051 = ￥1,241.84 ，所以小山一开始需要 ￥1,241.84

  像这样：

  再举个例：你现在需要投资多少钱，才能以 8%年利率在 10年后得到 ￥10,000？PV = ￥10,000 / (1+0.08)¹⁰ = ￥10,000 / 2.1589 = ￥4,631.93，投资 ￥4,631.93，利率为 8%，10年后便会增长到 ￥10,000

  求利率
  例子：小山有 ￥1,000，他想在 5年后增长到 ￥2,000，需要的利率是多少？

  我们再来重排公式：

开始：		FV = PV (1+r)n
换边：		PV (1+r)n = FV
每边除以 PV：		(1+r)n = FVPV
每边取n 次方根：		1+r = ( FVPV )1/n
每边减 1：		r = ( FVPV )1/n − 1

 

（注意：想了解 "取 n 次方根"，去这里阅读分数指数）

  结果是：r = ( FV / PV )^1/n − 1

  现在我们只需要 "代入" 数值来得到答案：

  例子（续）：

r =（￥2,000 / ￥1,000）^1/5 − 1
=（2）^0.2 − 1
= 1.1487 − 1
= 0.1487

  0.1487 以百分比来表达是 14.87%，所以小山需要 14.87% 的利率来在 5年后把 ￥1,000 变成 ￥2,000。

  再举个例：在 20年后把 ￥1,000 变成 ￥5,000 的利率是多少？?r =（￥5,000 / ￥1,000）)^1/20 − 1 =（5）^0.05 − 1 = 1.0838 − 1 = 0.0838，0.0838 就是 8.38%。所以 8.38% 的利率可以在 20年后把 $1,000 变成 ￥5,000。

  求期数

   例子：小山投资的年利率是 10%，他需要多少年才能得到 ￥2,000？都是一样，重排基本公式。但这一次我们也需要用自然对数函数 ln() 。

开始：		FV = PV (1+r)n
换边：		PV (1+r)n = FV
每边除以 PV：		(1+r)n = FV / PV
用对数：		ln(1+r) × n = ln( FV / PV )
每边除以 ln(1+r)：		n = ln( FV / PV )ln(1+r)

  （注意：想多了解点怎样"用对数"，去这里阅读使用指数与对数）。

  "代入"数值：

例子（续）：n = ln( ￥2,000 / ￥1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27，惊艳！要 7.27年和 10% 年利率来把 ￥1,000 变成 ￥2,000。小山要等 7年多。

再举个例：年利率是 5%，￥1,000 要几年才能变成 ￥10,000？n = ln( ￥10,000 / ￥1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19，47年！这不稀奇，因为金额大了十倍，而利率只有 5%。

  总结：了解怎样导出和使用公式，你便会更容易记住公式，并且懂得在不同情况下应用公式。