代数数论和超越数

  代数数
  代数数是任何有理系数非零多项式的根。

  简单地说，设有一个多项式（例如）：

2x³ − 5x + 39

  则 x 是代数数。

  因为这符合了所有条件：

• 2x³ − 5x + 39 是个非零多项式（不是多项式 "0"）
• x 是这个多项式的根（就是说，把 x 代入函数 2x³ − 5x + 39 的结果是零）
• 系数（2、−5 和 39）是有理数

  我们来看一个代数数：

例子：2x³ − 5x + 39

  我们想求 x 的值，而 2x³ − 5x + 39 等于 0

  x = −3 是一个答案，因为 2(−3)³ − 5(−3) + 39 = −54+15+39 = 0

  所以 −3 是个代数数

  我们用另一个多项式试试（记住：系数必须是有理数）。

例子：2x³ − ¼ = 0

  系数是 2 and −¼，都是有理数。

  x = 0.5，因为 2(0.5)³ − ¼ = 0

  所以 0.5 是个代数数

  我们日常遇见的数大部分都是代数数。

  不是代数数？那么就是超越数！
  一个数不是代数数，就是超越数.

  我们知道 π（派）和 e（欧拉数）不是代数数，所以是超越数。

  2 的平方根呢？

  例子：√2（2 的平方根）是代数数还是超越数？

  √2 是 x² − 2 = 0 的根，所以是个代数数（而不是超越数）。

  要证明一个数不是代数数其实是非常困难的。
  属性
  所有代数数都是可计算的，所以也是可定义的。

  代数数集是一个可数集。整数集是 "可数"的，所有代数数能与全体整数建立一一对应，所以代数数也是可数的。

  虚数 i 是个代数数（它是 x2 + 1 = 0 的根）。

  所有有理数都是代数数，但无理数可能是，也可能不是，代数数。