椭圆方程和椭圆方程的推导

椭圆方程

当椭圆的中心在原点（0,0），焦点在x轴和y轴上时，就可以很容易地导出椭圆方程。

椭圆方程由下式给出：

x2/a2 + y2/b2 = 1

椭圆方程的推导

现在，让我们看看它是如何推导出的。

上图表示一个椭圆，使得P1F1 + P1F2 = P2F1 + P2F2 = P3F1 + P3F2为常数。该常数始终大于两个焦点之间的距离。当两个焦点都通过线段连接在一起时，则连接焦点的该线段的中点称为中心，在下图中，O表示椭圆的中心：

穿过椭圆焦点的线段为长轴，垂直于长轴并穿过椭圆中心的线段为短轴。如图所示的端点A和B被称为顶点，它们表示长轴与椭圆的交点。‘2a’表示长轴的长度，‘a’表示半长轴的长度。“2b”是短轴的长度，“b”是半短轴的长度。“2c”表示两个焦点之间的距离。

证明：

让我们考虑长轴上的端点A和B，短轴末端上的端点C和D。

B与F 1的距离之和为F1B + F2B = F1O + OB + F2B（根据上图）

⇒ c + a + a – c = 2a

C点到F 1的距离之和为F1C + F2C

⇒ F1C + F2C = √(b2 + c2) + √(b2 + c2) = 2√(b2 + c2)

根据椭圆的定义；

2√(b2 + c2) = 2a

⇒a = √(b2 + c2)

⇒a2 = b2 + c2

⇒c2 = a2 – b2

特别案例：

• 如果c = 0，则F 1 和F 2，即 两个焦点都与椭圆中心合并在一起。而且a 2等于b 2，即a = b，所以现在在这种情况下我们得到一个圆。
• 如果c = a，则b变为0，我们得到线段F 1 F 2。