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给定顶点时的三角形面积

时间:2020-10-12 14:58:58

在这里,我们将看到在给出三个顶点的坐标时如何找到三角形的区域。 

让我们考虑下面给出的三角形。 

20201012145458.png

在上述三角形中,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )和C(x 3 ,  y 3 )是顶点。

为了找到三角形ABC的面积,现在我们按顺序(逆时针方向取三角形ABC的顶点 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )和C(x 3 ,  y 3 )  ),然后按列将其写入,如下所示。

20201012145529.png

黑色箭头所示的对角乘积 x 1 y 2 x 2 y 3 和x 3 y 1  a s。 

还要添加对角乘积x 2 y 1,x 3 y 2 和 x 1 y 3  ,如虚线箭头所示。

现在,从前一个乘积中减去后一个乘积即可得出三角形ABC的面积。

因此,三角形ABC的面积为

20201012145610.png

三点共线的条件

如果平面中的三个或更多点位于同一条直线上,则称它们什线的。

换句话说,三个点 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )和C(x 3 ,  y 3  什线的,如果这些点中的任何一个位于连接其他两个点的直线上点。 

 

假设三个点 A(x 1 ,y 1),B(x2,y2)和C(x3, y3 共线,则它们不能形成三角形。因此,三角形ABC的面积等于零。

那是, 

1/  2⋅  {(x 1 y 2 + x 2 y 3  +  x 3 y 1 )-(x 2 y 1  + x 3 y 2  +  x 1 y 3)} = 0 

要么

x 1 y  +  x 2 y 3  +  x 3 y 1   =  x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y 3

可以证明相反的说法也是正确的。

因此,当且仅当点A,B和C共线时,三角形ABC的面积为零。

练习问题

问题1:

找到顶点为(1、2),(-3、4)和(-5,-6)的三角形的面积

解决方案: 

如下图所示绘制给定点,并按顺序排列(逆时针)

20201012145751.png

令顶点为A(1、2),B(-3、4)和C(-5,-6)

然后,我们有 

(x 1 ,y 1)=(1,2)

(x 2,y 2)=(-3,4)

(x 3,y 3)=(-5,-6)

三角形ABC的面积为 

=   1/2⋅{(x 1 y   x 2 y 3  +  x 3 y 1)-(x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y 3)}

=( 1/2)⋅{[[(1)( 4)+(-3)(-6)+(-5)2]-[(-3)2 +(-5)4 + 1(-6) ]}

=( 1/2)⋅{[[4 + 18-10]-[-6-20 -6]}

=( 1/2)×{[12 ]  - [-32]  }

=( 1/2)x {12  + 32  }

=( 1/2)x {  44  }

= 22平方单位。 

因此,三角形ABC的面积为22平方单位。

问题2:

如果三角形ABC的面积为68平方单位,并且顶点依次为A(6,7),B(-4,1)和C(a,-9),则找到“ a”的值。  

解决方案:

让 

(x 1 ,y 1 )=(6,7)

(x 2,y 2)=(-4,1)

(x 3 ,y 3 )=(a,-9) 

给定:三角形ABC的面积为68平方单位。

然后,

1/2⋅{(x 1 y   x 2 y 3  +  x 3 y 1)-(x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y 3)} = 68

每边乘以2

{(x 1 y   x 2 y 3  +  x 3 y 1)-(x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y 3)} = 136

{[6 + 36 + 7a]-[-28 + a-54]} = 136

 [42 + 7a]-[a-82] = 136

42 + 7a -a +82 = 136

6a + 124 = 136

6a = 12

a = 2

问题3:

使用三角形面积的概念,证明点A(5,-2),B(4,-1)和C(1,2)什线的。

解决方案:

让 

(x 1,y 1)=(5,-2)

(x 2,y 2)=(4,-1)

(x 3,y 3)=(1,2)

x 1 y  + x 2 y 3  +  x 3 y 1   = 5(-1)+ 4(2)+ 1(-2) 

x 1 y  + x 2 y 3  +  x 3 y 1  = -5 + 8 -2  

x 1 y   x 2 y 3  +  x 3 y  = 1  -----(1)

x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y 3   = 4(-2)+ 1(-1)+ 5(2)

x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y 3   = -8 -1 + 10

x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y 3   = 1  -----(2)

从(1)和(2),我们得到 

x 1 y   x 2 y 3  +  x 3 y 1    x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y 3

因此,三个点A,B和C什线的。 

问题4:

如果P(x,y)是连接点(a,0)和(0,b)的线段上的任意点,则证明x / a + y / b = 1,其中a  ≠b。 

解决方案:

显然,点(x,y), (a,0)和(0,b)什线的。 

然后,

三角形的面积= 0 

因为三角形的面积为零,所以

x 1 y   x 2 y 3  +  x 3 y 1   =   x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y 3 -----(1)

这里,

(x 1,y 1)=(x,y)

(x 2,y 2)=(a,0)

(x 3 ,y 3 )=(0,b)

(1) - - - - > X    0  +一 ⋅  B + 0  ⋅  ý   =α  ⋅  ý  + 0  ⋅  0 + X  ⋅  b

0  + ab + 0 = ay + 0 + xb

 ab = ay + xb

将每一边除以ab。

1 = y / b + x / a

要么 

x / a + y / b = 1

问题5:

如果点(k,-1),(2,1)和(4,5)共线,则找到“ k”的值。  

解决方案:

因为给定的点什线的,

三角形面积= 0 

然后,我们有

x 1 y   x 2 y 3  +  x 3 y 1   =   x 2 y 1  + x 3 y 2  + x 1 y  -----(1)

这里,

(x 1,y 1)=(k,-1)

(x 2,y 2)=(2,1)

(x 3 ,y 3 )=(4,5)

(1)----->  k(1)+ 2(5)+ 4(-1)= 2(-1)+ 4(1)+ k(5)

k   + 10-4 = -2 + 4 + 5k

k + 6 = 2 + 5k

4 = 4k

1 = k

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