在这里,我们将看到在给出三个顶点的坐标时如何找到三角形的区域。
让我们考虑下面给出的三角形。
在上述三角形中,A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )和C(x 3 , y 3 )是顶点。
为了找到三角形ABC的面积,现在我们按顺序(逆时针方向)取三角形ABC的顶点 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )和C(x 3 , y 3 ) ),然后按列将其写入,如下所示。
黑色箭头所示的对角乘积 x 1 y 2 ,x 2 y 3 和x 3 y 1 a s。
还要添加对角乘积x 2 y 1,x 3 y 2 和 x 1 y 3 ,如虚线箭头所示。
现在,从前一个乘积中减去后一个乘积即可得出三角形ABC的面积。
因此,三角形ABC的面积为
如果平面中的三个或更多点位于同一条直线上,则称它们什线的。
换句话说,三个点 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )和C(x 3 , y 3 ) 什线的,如果这些点中的任何一个位于连接其他两个点的直线上点。
假设三个点 A(x 1 ,y 1),B(x2,y2)和C(x3, y3) 共线,则它们不能形成三角形。因此,三角形ABC的面积等于零。
那是,
1/ 2⋅ {(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 )-(x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3)} = 0
要么
(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3
可以证明相反的说法也是正确的。
因此,当且仅当点A,B和C共线时,三角形ABC的面积为零。
问题1:
找到顶点为(1、2),(-3、4)和(-5,-6)的三角形的面积
解决方案:
如下图所示绘制给定点,并按顺序排列(逆时针)
令顶点为A(1、2),B(-3、4)和C(-5,-6)
然后,我们有
(x 1 ,y 1)=(1,2)
(x 2,y 2)=(-3,4)
(x 3,y 3)=(-5,-6)
三角形ABC的面积为
= 1/2⋅{(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1)-(x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3)}
=( 1/2)⋅{[[(1)( 4)+(-3)(-6)+(-5)2]-[(-3)2 +(-5)4 + 1(-6) ]}
=( 1/2)⋅{[[4 + 18-10]-[-6-20 -6]}
=( 1/2)×{[12 ] - [-32] }
=( 1/2)x {12 + 32 }
=( 1/2)x { 44 }
= 22平方单位。
因此,三角形ABC的面积为22平方单位。
问题2:
如果三角形ABC的面积为68平方单位,并且顶点依次为A(6,7),B(-4,1)和C(a,-9),则找到“ a”的值。
解决方案:
让
(x 1 ,y 1 )=(6,7)
(x 2,y 2)=(-4,1)
(x 3 ,y 3 )=(a,-9)
给定:三角形ABC的面积为68平方单位。
然后,
1/2⋅{(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1)-(x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3)} = 68
每边乘以2
{(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1)-(x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3)} = 136
{[6 + 36 + 7a]-[-28 + a-54]} = 136
[42 + 7a]-[a-82] = 136
42 + 7a -a +82 = 136
6a + 124 = 136
6a = 12
a = 2
问题3:
使用三角形面积的概念,证明点A(5,-2),B(4,-1)和C(1,2)什线的。
解决方案:
让
(x 1,y 1)=(5,-2)
(x 2,y 2)=(4,-1)
(x 3,y 3)=(1,2)
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = 5(-1)+ 4(2)+ 1(-2)
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = -5 + 8 -2
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = 1 -----(1)
x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 = 4(-2)+ 1(-1)+ 5(2)
x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 = -8 -1 + 10
x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 = 1 -----(2)
从(1)和(2),我们得到
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3
因此,三个点A,B和C什线的。
问题4:
如果P(x,y)是连接点(a,0)和(0,b)的线段上的任意点,则证明x / a + y / b = 1,其中a ≠b。
解决方案:
显然,点(x,y), (a,0)和(0,b)什线的。
然后,
三角形的面积= 0
因为三角形的面积为零,所以
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 -----(1)
这里,
(x 1,y 1)=(x,y)
(x 2,y 2)=(a,0)
(x 3 ,y 3 )=(0,b)
(1) - - - - > X ⋅ 0 +一 ⋅ B + 0 ⋅ ý =α ⋅ ý + 0 ⋅ 0 + X ⋅ b
0 + ab + 0 = ay + 0 + xb
ab = ay + xb
将每一边除以ab。
1 = y / b + x / a
要么
x / a + y / b = 1
问题5:
如果点(k,-1),(2,1)和(4,5)共线,则找到“ k”的值。
解决方案:
因为给定的点什线的,
三角形面积= 0
然后,我们有
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 -----(1)
这里,
(x 1,y 1)=(k,-1)
(x 2,y 2)=(2,1)
(x 3 ,y 3 )=(4,5)
(1)-----> k(1)+ 2(5)+ 4(-1)= 2(-1)+ 4(1)+ k(5)
k + 10-4 = -2 + 4 + 5k
k + 6 = 2 + 5k
4 = 4k
1 = k
.