配方法解一元二次方程

  配方是……

拿一个像这样的二次方程：		把它转化为：
ax2 + bx + c = 0		a(x+d)2 + e = 0

如果你没有时间看下去，我可以告诉你：		d = b2a
并且：		e = c − b24a

  但若你有时间，让我教你怎样自己"配方"。

  配方法

  假设我们有一个简单的式子，像x² + bx。x在式子里出现两次，这相当复杂。怎办？借用几何的理念，我们可以改变它，像这样：

  x² + bx可以几乎重排成一个正方形，我们可以搭配上(b/2)²来完成这个正方形，

  在代数这是：

x2 + bx		+ (b/2)2	=	(x+b/2)2
		"配方"

  只要配上(b/2)²，我们就可以完成正方形，现在(x+b/2)²里x只出现一次，令处理比较容易。

  保持平衡

  注意，我们不能只加 (b/2)²，而不把它减去！否则方程便会完全改变，我们来看看正确做法的例子：

开始：
	（在这里"b" 是 6）
配方：	同时，减同一项
简化，就做好了。

结果：

x² + 6x + 7   =   (x+3)² − 2

现在x只出现一次，我们做好了！

  捷径，我们来看看我们想要的结果：(x+d)2 + e 展开 (x+d)2 为 x2 + 2dx + d2，所以：

  我们可以"逼"出一个答案出来：我们知道6x会成为2dx，所以d一定是 3，我们也知道7会成为 d2 + e = 9 + e，所以e 一定是 −2，

  得到的结果 (x+3)² − 2 和上面是一样的！我们现在来看看一个配方法的应用：解二次方程，

  用配方法来解一般二次方程，我们可以用配方法来解一个二次方程（求它何时等于零），但一个二次方程可以有系数 a 在x2前面：ax² + bx + c = 0 这很容易，先把方程除以 "a"，然后继续：x² + (b/a)x + c/a = 0，

  步骤，我们可以用 5 步来解二次方程：

  一、 把所有项除以 a（x2的系数）。
  二、 把常数项 (c/a) 移到方程的右边。
  三、 左边配方，右边也加同项以保持平衡。
  现在方程像 (x + p)2 = q，解这个相当容易：

  四、 取方程两边的平方根。
  五、 减去左边剩下的数来求x。

  例子以下有两个例子：

  例子 1： 解 x² + 4x + 1 = 0

  一、 可以略过因为 x² 的系数是 1

  二、 把常数项移到右边：，

  三、 左边配方，右边也加同项以保持平衡。

         (b/2)² = (4/2)² = 2² = 4

         x² + 4x + 4 = -1 + 4

         (x + 2)² = 3

  四、 取方程两边的平方根：x + 2 = ±√3 = ±1.73（保留2位小数）

  五、 每边减 2：x = ±1.73 – 2 = -3.73 or -0.27

还有一个有趣并且有用的小知识。 做完第三步后，方程是： (x + 2)2 = 3 这方程告诉我们 x2 + 4x + 1 的顶点（转折点）在(-2, -3)

  例子 2：解 5x² – 4x – 2 = 0

  一、 所有项除以 5

  二、 把常数项移到右边：

  三、 左边配方，右边也加同项以保持平衡：

(b/2)² = (0.8/2)² = 0.4² = 0.16

  四、 取方程两边的平方根：

  五、 每边减 (-0.4) （换句话说，加 0.4）：

  为什么要"配方"？为什么要配方？为什么不用二次方程求根公式去解二次方程？上面讲了一个原因，除了解方程以外，我们还可以知道顶点在哪里。有时这个方程格式 ax2 + bx + c 可能是一个更大的问题的一部分，把它重排成 a(x+d)2 + e 会让求解更容易，因为 x 只出现一次。例如， "x" 可能是个函数（像cos(z)），重排后可能可以让我们找到一个更好的解法。配方也是导出二次方程的求根公式的方法，配方法是你的数学工具箱里的一个工具。