6种方法来因式分解二次多项式(二次方程)

  标准型的二次方程(a、b 和 c可以是任何值，但 a 不能是零。）

  "因式分解" （也叫作"分解因式"）一个二次式是去：找什么式的积等于一个已知的二次式。

  叫 "因式分解" 是因为我们去找因式（因式是用来相乘的）

  例子
  x2 + 3x − 4 的因式是：(x+4) 和 (x−1)

  为什么？我们把它们相乘来看看：

(x+4)(x−1)	= x(x−1) + 4(x−1)
	= x2 − x + 4x − 4
	= x2 + 3x − 4

  把 (x+4)(x−1) 相乘是叫展开，实际上，展开和分解是彼此相反的：

  展开很容易，但分解有时不简单，

  这有点像找出什么材料使一个蛋糕好吃，有时这绝对不明显！

  我们来试试一个我们还不知道因式的例子：

  公因式，先看看有没有公因式，

例子：6x² − 2x = 0 的因式是什么？

2 是 6 和 2 的公因式：2(3x² − x) = 0

x 是 x2 和 x 的公因式：2x(3x − 1) = 0

  做好了！因式是 2x 和 3x − 1，

  现在我们也可以找二次式等于零的根：

  当 x = 0 时，2x = 0
  当 x = 1/3 时，3x − 1 = 0
  图如下（留当 x=0 和 x=1/3 时，因式的值是零）：

  但不是经常都这么容易，也许我们可以猜一个答案？

  例子：2x² + 7x + 3 的因式是什么？没有公因式。

  我们来猜一个答案，然后测试答案对不对，可能我们运气好！

  试试 (2x+3)(x+1)：(2x+3)(x+1)   = 2x² + 2x + 3x + 3  = 2x² + 5x + 3 （错）

  再试这个 (2x+7)(x−1)：(2x+7)(x−1)   = 2x² − 2x + 7x − 7  = 2x² + 5x − 7 （还是不行）

  这个呢？(2x+9)(x−1)：(2x+9)(x−1) = 2x² − 2x + 9x − 9  = 2x² + 7x − 9 （拿石头砸自己的脚）

  糟了！这样要搞多久才能行？乱打乱撞不是好办法。试试其他的，简单情况下可用的方法，幸好在简单情况下有一个可用的方法。

  当二次方程是这个格式时：

  一、找两个积是等于 give ac 的数（积是 a 乘 c），同时这两个数的和是 b。

  例子：2x² + 7x + 3   ac 是 2×3 = 6，b 是 7

  所以我们要找两个数，它们的积是 6，而它们的和是 7，容易！6 和 1 能行 （6×1=6，6+1=7）

  可是,我们怎样找 6 和 1 出来？我们可以列出 ac=6 的因数，然后选几对因数加起来试试可不可以得到 b=7.6 的因数有 1、2、3 和 6,哈！ 1 和 6 的和是 7，并且 6×1=6。

  二、以这对因数重写二次式的中间部分：把 7x 重写为 6x 和 1x：2x² + 6x + x + 3

  三、把前两项与后两项分开来分解：前两项 2x² + 6x 分解为 2x(x+3)

  在这例子，后两项 x+3 不能分解,所以：2x(x+3) + (x+3)

  四、若我们没做错，应该有一个很明显的公因式。

  在这例子，显而易见，两项都有 (x+3)，所以我们可以这样做：

开始		2x(x+3) + (x+3)
等于：		2x(x+3) + 1(x+3)
故此：		(2x+1)(x+3)

   测：(2x+1)(x+3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3 （对了！）

  让我们再来很快做第一到第四步，从头到尾，逐步看二次式的变化：

  比瞎猜好多了！

  再来一个例子：

例子： 6x² + 5x − 6

  一、ac 是 6×(−6) = −36，b 是 5

  列出 ac（=36） 的正因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36

  找两个因数，其中一个要是负数，从而把积成为 −36。试了几个后，我找到 −4 和 9：−4×9 = −36 和 −4+9 = 5

 

  二、重写 5x，用 −4x 和 9x：6x² − 4x + 9x − 6

  三、分解头两项和后两项：2x(3x − 2) + 3(3x − 2)

  四、公因式是 (3x − 2)：:(2x+3)(3x − 2)

  检测：(2x+3)(3x − 2) = 6x² − 4x + 9x − 6 = 6x² + 5x − 6 （对）

  找正确的数
  最难的一步是找两个因数，要它们的积是 ac，同时它们的和是 b。

  这真的是猜测，所以把所有的因数列出来是很重要的。

  又一个例子：

例子：ac = −120 和 b = 7

  哪两个数的 积是 −120，而 和是 7？

  120 的因数是 （正与负）：1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60 和 120

  找几对因数试试（从中间开始！），看看和是不是 7:

• −10 x 12 = −120，但是 −10+12 = 2 （错）
• −8 x 15 = −120，并且 −8+15 = 7 （行了！）

  为什么要分解因式？因式分解的一个重要用途是用来解二次方程的根（二次式等于零）,分解因式后，我们只需要看两个因式什么时候等于零,

例子： 6x² + 5x − 6 的根（零）是什么？上面我们已经找到這些因式:(2x + 3)(3x − 2)

  我们可以计算出来,当 x = −3/2 时，(2x + 3) 亦等于零，

  并且,当 x = 2/3 时，(3x − 2) 亦等于零,故此， 6x² + 5x − 6 的根是：−3/2 和 2/3

  这是 6x² + 5x − 6 的图，看到它在什么地方等于零吗？

  我们可以用算术来检测答案：

  当 x = -3/2：6(-3/2)² + 5(-3/2) - 6 = 6×(9/4) - 15/2 - 6 = 54/4 - 15/2 - 6 = 6-6 = 0

  当 x = 2/3：6(2/3)² + 5(2/3) - 6 = 6×(4/9) + 10/3 - 6 = 24/9 + 10/3 - 6 = 6-6 = 0

  画图,我们也可以为二次方程画个图，看看方程在什么地方等于零可以提供一些线索。

例子：（续）开始：只用 6x² + 5x − 6 和 这图：

  根是大约 x = −1.5 和 x = +0.67，所以我们所以猜方程的根为：

−3/2 和 2/3

  由此，我们可以算出因式为 2x + 3 和 3x − 2

  不过，一定要检测！0.67 可能不是 2/3！

  通用解法,若上面的方法行不通，还有一个通用解法。这解法用二次公式：

  用二次公式来找两个答案 x₊ 或 x₋（一个是 "±"里的"+"号的答案，另一个是 "−"号的答案），然后把二次式分解为：a(x − x₊)(x − x₋)

  现在我们用上面的例子来试试：

 例子： 6x² + 5x − 6 的根是什么？把 a=6, b=5 和 c=−6 代入公式里：

x = (−b ± √[b² − 4ac]) / 2a

x = (−5 ± √[5² − 4×6×(−6)]) / 2×6

= (−5 ± √[25 + 144]) / 12

= (−5 ± √169) / 12

= (−5 ± 13) / 12

  所以两个根是：

x₊ = (-5 + 13) / 12 = 8/12 = 2/3,

x₋ = (-5 − 13) / 12 = −18/12 = −3/2

（和我们上面得到的答案是相同的）

  把这些值代入 a(x − x₊)(x − x₋)：6(x − 2/3)(x + 3/2)

  重排来简化：3(x − 2/3) × 2(x + 3/2) = (3x − 2)(2x + 3)

  和上面找到的因式一模一样！