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6种方法来因式分解二次多项式(二次方程)

时间:2020-11-23 16:24:02

  标准型的二次方程(ab  c可以是任何值,但 a 不能是零。)

20201123154809.png

  "因式分解" (也叫作"分解因式")一个二次式是去:找什么式的积等于一个已知的二次式。

  叫 "因式分解" 是因为我们去找因式(因式是用来相乘的)

  例子
  x2 + 3x − 4 的因式是:
(x+4)  (x−1)

  为什么?我们把它们相乘来看看:

(x+4)(x−1)  = x(x−1) + 4(x−1)
  = x2 − x + 4x − 4
  = x2 + 3x − 4 对

  把 (x+4)(x−1) 相乘是叫展开,实际上,展开和分解是彼此相反的:

20201123160241.png

  展开很容易,但分解有时不简单,

20201123160315.png

  这有点像找出什么材料使一个蛋糕好吃,有时这绝对不明显!

  我们来试试一个我们还不知道因式的例子:

  公因式,先看看有没有公因式,

例子:6x2 − 2x = 0 的因式是什么?

2 是 6 和 2 的公因式2(3x2 − x) = 0

x 是 x2 和 x 的公因式2x(3x − 1) = 0

  做好了!因式是 2x 和 3x − 1,

  现在我们也可以找二次式等于零的根:

  当 x = 0 时,2x = 0
  当 x = 1/3 时,3x − 1 = 0
  图如下(留当 x=0 和 x=1/3 时,因式的值是零):

20201123160637.png

  但不是经常都这么容易,也许我们可以猜一个答案?

  例子:2x2 + 7x + 3 的因式是什么?没有公因式。

  我们来一个答案,然后测试答案对不对,可能我们运气好!

  试试 (2x+3)(x+1):(2x+3)(x+1)   = 2x2 + 2x + 3x + 3  = 2x2 + 5x + 3 (错)

  再试这个 (2x+7)(x−1):(2x+7)(x−1)   = 2x2 − 2x + 7x − 7  = 2x2 + 5x − 7 (还是不行)

  这个呢?(2x+9)(x−1):(2x+9)(x−1) = 2x2 − 2x + 9x − 9  = 2x2 + 7x − 9 (拿石头砸自己的脚)

  糟了!这样要搞多久才能行?乱打乱撞不是好办法。试试其他的,简单情况下可用的方法,幸好在简单情况下有一个可用的方法。

  当二次方程是这个格式时:

20201123161016.png

  一、找两个积是等于 give ac 的数(积是 a 乘 c),同时这两个数的和是 b

  例子:2x2 + 7x + 3   ac 是 2×3 = 6,b 是 7

  所以我们要找两个数,它们的积是 6,而它们的和是 7,容易!6  1 能行 (6×1=6,6+1=7)

  可是,我们怎样找 6 和 1 出来?我们可以列出 ac=6 的因数,然后选几对因数加起来试试可不可以得到 b=7.6 的因数有 1、2、3 和 6,哈! 1 和 6 的和是 7,并且 6×1=6。

  二、以这对因数重写二次式的中间部分:把 7x 重写为 6x 和 1x:2x2 + 6x + x + 3

  三、把前两项与后两项分开来分解:前两项 2x2 + 6x 分解为 2x(x+3)

  在这例子,后两项 x+3 不能分解,所以:2x(x+3) + (x+3)

  四、若我们没做错,应该有一个很明显的公因式。

  在这例子,显而易见,两项都有 (x+3),所以我们可以这样做:

开始   2x(x+3) + (x+3)
等于:   2x(x+3) + 1(x+3)
故此:   (2x+1)(x+3)

   测:(2x+1)(x+3) = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3 (对了!)

  让我们再来很快做第一到第四步,从头到尾,逐步看二次式的变化:

2x2 + 7x + 3
2x2 + 6x + x + 3
2x(x+3) + (x+3)
2x(x+3) + 1(x+3)
(2x+1)(x+3)

  比瞎猜好多了!

  再来一个例子:

例子: 6x2 + 5x − 6

  一、ac 是 6×(−6) = −36,b 是 5

  列出 ac(=36) 的正因数:1、2、3、4、6、9、12、18、36

  找两个因数,其中一个要是负数,从而把积成为 −36。试了几个后,我找到 −4 和 9:−4×9 = −36 和 −4+9 = 5

 

  二、重写 5x,用 −4x 和 9x:6x2 − 4x + 9x − 6

  三、分解头两项和后两项:2x(3x − 2) + 3(3x − 2)

  四、公因式是 (3x − 2)::(2x+3)(3x − 2)

  检测:(2x+3)(3x − 2) = 6x2 − 4x + 9x − 6 = 6x2 + 5x − 6 (对)

  找正确的数
  最难的一步是找两个因数,要它们的积是 ac,同时它们的和是 b。

  这真的是猜测,所以把所有的因数列出来是很重要的。

  又一个例子:

例子:ac = −120 和 b = 7

  哪两个数的 积是 −120,而 和是 7

  120 的因数是 (正与负):1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60 和 120

  找几对因数试试(从中间开始!),看看和是不是 7:

  为什么要分解因式?因式分解的一个重要用途是用来解二次方程的根(二次式等于零),分解因式后,我们只需要看两个因式什么时候等于零,

例子: 6x2 + 5x − 6 的根(零)是什么?上面我们已经找到這些因式:(2x + 3)(3x − 2)

  我们可以计算出来,当 x = −3/2 时,(2x + 3) 亦等于零,

  并且,当 x = 2/3 时,(3x − 2) 亦等于零,故此, 6x2 + 5x − 6 的根是:−3/2  2/3

  这是 6x2 + 5x − 6 的图,看到它在什么地方等于零吗?

20201123161953.png

  我们可以用算术来检测答案:

  当 x = -3/2:6(-3/2)2 + 5(-3/2) - 6 = 6×(9/4) - 15/2 - 6 = 54/4 - 15/2 - 6 = 6-6 = 0

  当 x = 2/3:6(2/3)2 + 5(2/3) - 6 = 6×(4/9) + 10/3 - 6 = 24/9 + 10/3 - 6 = 6-6 = 0

  画图,我们也可以为二次方程画个图,看看方程在什么地方等于零可以提供一些线索。

例子:(续)开始:只用 6x2 + 5x − 6  这图:

20201123162107.png

  根是大约 x = −1.5 和 x = +0.67,所以我们所以方程的根为:

−3/2  2/3

  由此,我们可以算出因式为 2x + 3  3x − 2

  不过,一定要检测!0.67 可能不是 2/3!

  通用解法,若上面的方法行不通,还有一个通用解法。这解法用二次公式:

20201123162156.png

  用二次公式来找两个答案 x+  x(一个是 "±"里的"+"号的答案,另一个是 "−"号的答案),然后把二次式分解为:a(x − x+)(x − x)

  现在我们用上面的例子来试试:

 例子: 6x2 + 5x − 6 的根是什么?把 a=6, b=5 和 c=−6 代入公式里:

x = (−b ± √[b2 − 4ac]) / 2a

x = (−5 ± √[52 − 4×6×(−6)]) / 2×6

= (−5 ± √[25 + 144]) / 12

= (−5 ± √169) / 12

= (−5 ± 13) / 12

  所以两个根是:

x+ = (-5 + 13) / 12 = 8/12 = 2/3,

x = (-5  13) / 12 = −18/12 = −3/2

(和我们上面得到的答案是相同的)

  把这些值代入 a(x − x+)(x − x)6(x − 2/3)(x + 3/2)

  重排来简化:3(x − 2/3) × 2(x + 3/2) = (3x − 2)(2x + 3)

  和上面找到的因式一模一样!

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