圆锥截面上的双曲线-标准方程式和偏心率

双曲线是一个平面上所有这些点的轨迹，因此它们与平面上两个不动点的距离差是常数。

固定点称为焦点（上图中的F 1和F 2）（单焦点）。上图表示双曲线，因此P1F2 – P1F1 = P2F2 – P2F1 = P3F1 – P3F2是常数。

当两个焦点通过一条线段连接起来时，连接焦点的线段的中点称为中心，O表示上图中椭圆的中心。通过两个焦点的线段是双曲线的横轴。垂直于横轴并穿过中心的线段代表双曲线的共轭轴。

双曲线与横轴的交点给出了双曲线的顶点，在给定图中由点A和B表示。“ 2a”表示横轴的长度。“ 2b”什轭轴的长度。“ 2c”代表两个焦点之间的距离。a，b和c之间的关系由下式给出：

b = √(c2 – a2)

双曲线偏心率

距任一焦点到双曲线的顶点到双曲线中心的距离之比被定义为偏心率。

偏心率，e = c/a

由于c≥a，所以在双曲线的情况下偏心率始终大于1。

双曲线标准方程式

确定双曲线方程的最简单方法是假定双曲线的中心位于原点（0，0），并且焦点位于笛卡尔平面的x轴或y轴上，如下所示：

焦点都位于x轴上，中心O都位于原点。

让我们考虑图（a）来导出双曲线方程。如图所示，令F 1和F 2的坐标分别为（-c，0）和（c，0）。让我们考虑位于双曲线上的点P（x，y），使得P满足定义，即平面中P与F 1和F 2的距离之差为常数2a。

⇒ PF1 – PF2 = 2a – – – (1)

使用距离公式，距离可以写为：

把我们得到的两边都平方化和简化；

现在，由于P位于双曲线上，因此它应满足公式（2），使得0 <a <c。

从而，

关于简化， 

同样，

在双曲线中，c> a并且由于P位于x = a线的右侧，因此可以说x> a即

因此，PF 2变为负。

因此，

因此，以原点为中心，横轴为x轴的方程为：

同样，以原点为中心，共轭轴为y轴的方程为：

双曲线直肠

垂直于横轴通过任何焦点的线段，以使其端点位于双曲线上，这些线段定义为双曲线的直肠。

双曲线直肠的长度是2b2/a。