频率分布直方图怎么估计平均数和中位数和众数

  赛跑与顽皮小狗，我们从原始数据开始（还没分组的），大山测量了 21个赛跑者的时间（到最近的秒）：

59、65、61、62、53、55、60、 70、64、56、58、58、62、62、68、65、56、 59、68、61、67

  求 平均值，大山把所有的数加起来，然后除以数的个数：

平均 =	59+65+61+62+53+55+60+70+64+56+58+58+62+62+68+65+56+59+68+61+67
	21

=	61.38095...

  求 中位数，大山把数顺序排列，然后找在正中间的数。

  中位数是第 11个数：

53, 55, 56, 56, 58, 58, 59, 59, 60, 61, 61, 62, 62, 62, 64, 65, 65, 67, 68, 68, 70 中位数 = 61

  求 众数，大山把数顺序排列，然后计算每一个数出现的次数。众数是出现最多的数（可以有多于一个众数）：

  53、55、56、56、58、58、59、59、60、61、61、62、62、62、64、65、65、67、68、68、70,62 出现了三次，比其他的数多，所以 众数 = 62

  分组频数表
  接下来，大山做了一个 分组频数表：

秒	频数
51 - 55	2
56 - 60	7
61 - 65	8
66 - 70	4

  2个赛跑者的时间是在 51 和 55秒之间，7个的时间实在 56 和 60秒之间,我们可以帮大山从分组频数表去求平均、中位数和众数吗？

  答案是……不能。至少不能求精确的值。不过，我们可以求近似值,哟个分组数据求平均值,剩下的数据只有：

 

秒	频数
51 - 55	2
56 - 60	7
61 - 65	8
66 - 70	4

  这些组 （51-55、56-60等）的宽度（也叫组距）是 5,中点是在每个组距的正中：53、58、63 和 68

  我们可以用中点来估计平均,怎样做？在 56 - 60 组里的 7个赛跑者的时间是在 56 和 60秒之间：可能七个都跑了 56秒，可能七个都跑了 60秒，但更可能的是他们的时间都不一样，有些的时间是 56秒，有些是 57秒等等,所以我们就取个平衡，假设七个赛跑者的时间都是 58秒,我们用中点来做个表：

中点	频数
53	2
58	7
63	8
68	4

  我们的假设是："2个人跑了 53秒、7个人跑了 58秒、8个人跑了 63秒、3个人跑了 68秒"。换句话说，我们想象数据是这样的：

53、53、58、58、58、58、58、58、58、63、63、63、63、63、63、63、63、68、68、68、68

  然后我们把全部的数加起来，再除以 21（总共有 21个数）。最快的做法是把每个中点乘以相对的频数：

中点t x	频数 f	中点 × 频数 fx
53	2	106
58	7	406
63	8	504
68	4	272
总计：	21	1288

  平均赛跑时间的近似值是：

  与用原始数据求得的精确答案很接近,从分组数据求中位数,我们再看看数据：

秒	频数
51 - 55	2
56 - 60	7
61 - 65	8
66 - 70	4

  位数是在正中的数，在这里是第 11个数，在 61 - 65 的组里：我们可以说："中位组是 61 - 65"但如果我们想估计一个中位数，我们要仔细看看 61 - 65 的组。

  组是叫 "61 - 65"，但其实它可以从 60.5 到（但不包括） 65.5。为什么？因为数据是测量到整数的秒数，所以如果真正时间是 60.5，这点便会被测量为 61。同样，65.4 会被测量为 65.在 60.5 有 9个赛跑者，在下一个界限 65.5 有 17个赛跑者。在中间画一条直线，我们便可以看到 n/2 个赛跑者的中位数是：

  可以用这个简单公式来计算：

  其中：

• L 是包含中位数的组的下限
• n 是数据的个数
• B 是中位组前面所有组的累积频数
• G 是中位组的频数
• w 是组距

  在这个例子里：

• L = 60.5
• n = 21
• B = 2 + 7 = 9
• G = 8
• w = 5

  用分组数据求众数,再来看数据：

秒	频数
51 - 55	2
56 - 60	7
61 - 65	8
66 - 70	4

  密集群组（最大频数的组）是 61 - 65,我们说："密集群组是 61 - 65",但真正的众数可能根本不在这个组里！也可能有多于一个众数。没有原始数据我们不会知道,可是，我们可以用这个公式来估计众数：

  其中：

• L 是密集群组的下限
• f_m-1 是密集群组之前一个组的频数
• f_m 是密集群组的频数
• f_m+1 是密集群组之后一个组的频数
• w 是组距

  在这个例子里：

• L = 60.5
• f_m-1 = 7
• f_m = 8
• f_m+1 = 4
• w = 5

 

众数近似值	= 60.5 +	8 − 7	× 5
		(8 − 7) + (8 − 4)
	= 60.5 + (1/5) × 5
	= 61.5

  最后的结果是：

  平均近似值：61.333...中位数近似值：61.4375,众数近似值：61.5,（你可以把这些值与上面用原始数据求得的平均、中位数和众数 61.38……、61 和 62 比较一下。）

  这就是用分组数据去求平均、中位数和众数的近似值的做法。

  我们现再来看两个例子，也多做一些练习！

  小胡萝卜例子

  例子：你在特种泥土里种了五十个小胡萝卜。你把它们挖出来，量度长度（到最近的 mm）， 然后把结果分组：

 

  平均

 

平均近似值 =	8530	= 170.6 mm
	50

 

  中位数

  中位数是第 25 和 26个长度的平均，所以是在 170 - 174 的组里：

• L = 169.5 （170 - 174 组的下限）
• n = 50
• B = 5 + 2 + 6 + 8 = 21
• G = 9
• w = 5

中位数近似值	= 169.5 +	(50/2) − 21	× 5
		9
	= 169.5 + 2.22……
	= 171.7 mm（到一个小数位）

 

  众数

  密集群组是最大频数的组，就是 175 - 179 的组：

• L = 174.5 （175 - 179 组的下限）
• f_m-1 = 9
• f_m = 11
• f_m+1 = 6
• w = 5

众数近似值	= 174.5 +	11 − 9	× 5
		(11 − 9) + (11 − 6)
	= 174.5 + 1.42...
	= 175.9 mm（到一个小数位）

  年龄例子,年龄是个特别的频数,如果我们说："莎莎是 17岁"，在她 18岁生日前，她一直都是 17岁,她的年纪可能已经是 17年 364天，但我们仍然叫她 "17岁",因为这样，中点和组距都会有点改变。

  例子：在一个热带岛屿上的 112个人的年龄分成以下的组别：

年龄	人数
0 - 9	20
10 - 19	21
20 - 29	23
30 - 39	16
40 - 49	11
50 - 59	10
60 - 69	7
70 - 79	3
80 - 89	1

  在 0 - 9 组里的小孩可能已经差不多 10岁，所以这个组的中点是 5，而 不是 4.5,中点是 5、15、25、35、45、55、65、75 和 85,同样，在求中位数和众数时，我们也会以组距为 0、10、20 等等

  平均

Age	中点 x	人数r f	fx
0 - 9	5	20	100
10 - 19	15	21	315
20 - 29	25	23	575
30 - 39	35	16	560
40 - 49	45	11	495
50 - 59	55	10	550
60 - 69	65	7	455
70 - 79	75	3	225
80 - 89	85	1	85
	总计：	112	3360

 

平均近似值 =	3360	= 30
	112