分数指数与分数指数幂的运算法则

  也叫"根" 或 "有理指数"整数指数，我们首先看整数指数：

一个数的指数代表把多少个这个数乘在一起。 例子：82 = 8 × 8 = 64 用文字来表达： 82 可以叫 "8的二次方"、"8的二次幂" 或 "8的平方"

  另一个例子：5³ = 5 × 5 × 5 = 125

  分数指数，如果指数是个分数呢？

指数是1/2代表平方根 指数是1/3代表立方根 指数是1/4代表四次方根 依此类推！

  为什么？我们看一个例子来了解为什么，首先，指数定律告诉我们在乘法里怎样处理指数：

 例子：x²x² = (xx)(xx) = xxxx = x⁴  就是说 x²x² = x⁽²⁺²⁾ = x⁴

  我们用分数指数来试试：

  用另一个分数来试试看，我们再来一次，不过这次指数是（1/4）：

例子：16^¼

16^¼ ×16^¼ ×16^¼ ×16^¼ = 16^{(¼+¼+¼+¼)} = 16⁽¹⁾ = 16

  所以，4个 16^¼ 相乘的结果是 16，

，故此 16^¼ 是 16 的 四次方根

  通用规则
  从以上我们看到这规则适用于 ½ 和 ¼，其实它是通用的：x^1/n = x 的 n次方根

  所以规则是：

  例子：27^1/3 是什么？1/3 = 27 = 3

  更复杂的分数呢？若分数指数是 43/2，那怎么样？

  这实际上是以任何次序做一个 立方（3）和一个 平方根（1/2），听我解释。

一个分数（例如 m/n）可以分拆为两部分：

  整数部分（m），和分数部分（1/n）因为 m/n = m × (1/n)，我们可以这样做：

  次序并不重要，这样 m/n = (1/n) × m 也可以：

  我们的结论是：

分数指数，像 m/n ,的意思是：   取 m 次幂，然后取 n 次方根 或 取 n 次方根，然后取 m 次幂

  一些例子：例子：43/2 是什么？

4^3/2 = 4^3×(1/2) = √(4³) = √(4×4×4) = √(64) = 8

或

4^3/2 = 4^(1/2)×3 = (√4)³ = (2)³ = 8

  答案一样。

例子：27^4/3 是什么？?

27^4/3 = 27^4×(1/3) = (27⁴) = (531441) = 81

或

27^4/3 = 27^(1/3)×4 = (27)⁴ = (3)⁴ = 81

  第二个方法简单很多!

  现在来玩玩这个图！
  留心看当你在动画里改变分数时，曲线怎样畅顺地变动，显示出分数指数的精髓：

  试试这些：

  从 m=1 和 n=1 开始，然后慢慢增大 n，留心看 1/2、1/3 和 1/4，接着以 m=2，把 n 上下改变，留心看像 2/3 等等的分数，尝试把指数调成 −1，最后试试把 m 增大，再把 n 减少；然后 减少 m，再 增大 n：曲线会来回绕圈，