探索立体

这个活动有三部分：

1. 造立体的模型。
2. 探索欧拉公式。
3. 估计表面积和体积。

1. 做模型

你会做以下立体的 模型。 它们全是 多面体 ，前五个叫 柏拉图立体,你可以用以下的模板 来做立体的模型。 打印在纸上，或者，如果你的打印机可以的话，打印在卡片上会更好。也可以把模板粘在卡片上，再剪下来（待会你会知道我我为什么提议用卡片）。

你只需 把模板 （连带突出部分）剪下来，顺着线条折叠， 再用胶把突出部分粘到相连的面上。 粘最后一个突出部分时要小心慢慢做， 可能会有些困难,去建造指示这页了解多些怎样制作模型。

2. 探索欧拉公式

完成所有模型后，数数每个立体的 顶点、棱和面 。 你要一边数一边画上标志，这样你便不会忽略或多数。 数的时候，用记号笔把每个顶点涂一个颜色，把每条棱涂另一个颜色，也把每个面涂另一个颜色。 数完以后，把答案填到下面的列表上：

立体	F 面的数量	V 顶点的数量	E 棱的数量	F + V - E
立方体
四面体
八面体
二十面体
十二面体
正四棱锥
五棱锥

计算 F + V - E，填进最后一列。

发现什么？

每个答案应该都是一样的。
这个结果叫 欧拉公式。
它适用于所有 多面体。

估计表面积

在上面的列表的”细节“列里链接到的页里有多面体的体积和表面积的公式，而这些公式是相当复杂的。 例如，十二面体的公式是：

十二面体：

表面积 = 3×√(25+10×√5) × (棱的长度)²
体积 = (15+7×√5)/4 × (棱的长度)³

哇！ 很复杂，对不？
我们来看看怎样用我们的模板或模型去估计表面积和体积：

表面积

要估计表面积，我们可以用网格和 数格子。

但用模板会比较容易。 为什么？ 你注意到立体的表面积和模板的面积是一样的,不要算突出部分的面积,它们不是表面积的一部分。

例子：五棱锥,我用了 1 cm² 的格子.

我估计五棱锥的表面积为大约 98cm²

用同一方法去估计每个立体模型的表面积。

完成以下列表：

立体	表面积的近似值 (cm2)
立方体
四面体
八面体
二十面体
十二面体
正四棱锥
五棱锥

 

估计体积

在发现容积活动，你用一个量杯去测量杯子或容器的容积（或体积）。

用水或牛奶来盛满我们这些立体是不妥的。

但我们可以用沙或盐。
如果你没有沙子，拿一包 500g 或 1 lb 的盐。
但盐用完以后就不能用来做菜了！

用一个小漏斗来倒盐。在模型的一个顶点开一个小洞，然后从小洞倒盐进去模型，倒满为止。

你现在应该明白为什么我建议你用卡片来做立体模型了。若你用普通纸张，立体的面就会变形，你的答案便会不准确 。

以二十面体为例：

盛满立体模型后，再把盐倒出来到一个量杯里。量杯的单位可能是毫升（ml），1 ml 的容积正好是 1 cm³.

在量杯里的盐的表面要水平和平坦,看看量杯里的盐的体积，越准确越好。

我做这实验时，盐的体积是 199 cm³，所以二十面体的体积的近似值也是 199 cm³.

每个立体模型都这样做（盐可以重复再用）。

完成以下列表:

立体	体积近似值 (cm3)
立方体
四面体
八面体
二十面体
十二面体
正四棱锥
五棱锥