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正多边形定义和正多边形的面积公式

时间:2020-12-08 15:48:35

  多边形

  多边形是边是直线的平面(二维)图形,例如三角形、四边形、五边形、六边形等等。

  规则

  规则正多边形,所有边长度相等,所有角大小相等。

正五边形   不规则五边形
规则(正)五边形   不规则五边形

  否则便是个 不规则多边形,在这里我们只谈正多边形。

属性

我们可以谈什么属性?首先,可以谈谈多边形的角。

20201208152629.png

  外角

  外角多边形任何一条边,与邻边的延长线之间的角,多边形所有的外角加起来是 360°,所以:每个外角等于 360°/nn 是边的个数)

  按 play 钮来看看。

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例子:正八边形的外角有多大?八边形有八条边,所以:外角 = 360°/n = 360°/8 = 45°

20201208152854.png

(正八边形的)外角

  内角

内角与外角都是在同一条线上,所以它们的和是 180°内角 = 180° − 外角

20201208153032.png

外角 = 360°/n,所以:内角 = 180° − 360°/n

  这可以重排成:

内角   = 180° − 360°/n
    = (n × 180° / n) − (2 × 180° / n)
    = (n−2) × 180°/n

所以:

内角 = (n−2) × 180° / n

例子:正八边形的内角有多大?正八边形有八条边,所以:

外角 = 360° / 8 = 45°

内角 = 180° − 45° = 135°

20201208153743.png

(正八边形的)内角

 我们也可以用:内角 = (n−2) × 180° / n  = (8−2) × 180° / 8 = 6 × 180° / 8 = 135°

例子:正六边形的内角和外角有多大?正六边形有六条边,所以:

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  外角 = 360° / 6 = 60°,内角 = 180° − 60° = 120°

  外接圆、内接圆、半径和边心距……"

  这是多边形 "外面" 和 "里面" 的圆和半径,像这样:

外面的圆叫外接圆,它连接多边形所有的顶点(角)。外接圆的半径也是多边形的半径

"里面" 的圆叫内接圆,它刚好接触多边形每一条边的中点。内接圆的半径是多边形的边心距

20201208154101.png

(不是所有的多边形都有这些属性的,但三角形和正多边形有)。

  拆成三角形

20201208154203.png

  我们可以把多边形拆成三角形来更具体地分析多边形的属性:

注意:

  三角形的面积是底乘高的一半:一个三角形的面积 = 底 × 高 / 2 = 边长 × 边心距 / 2

  整个多边形的面积是所有三角形面积的和(总共有 "n" 个):多边形面积 = n × 边长 × 边心距 / 2

  周长是 = n × 边长,所以:多边形面积 = 周长 × 边心距 / 2

  小三角形

  再把三角形一分为二:

20201208154327.png

(注意:角的单位是弧度,而不是角度)

  小三角形是直角三角形,我们可以用 正弦、余弦和正切函数来分析边长、半径、边心距和 "n" 的关系:

sin(π/n) = (边长/2) / 半径 右箭头 边长 = 2 × 半径 × sin(π/n)
cos(π/n) = 边心距 / 半径 右箭头 边心距 = 半径 × cos(π/n)
tan(π/n) = (边长/2) / 边心距 右箭头 边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n)

  还有很多类似的关系(大部分都是可以互相"转换的"),但在这里我们就谈这么多。

更多面积公式

如果我们只知道边心距,我们可以这样求面积:小三角形的面积 = ½ × 边心距 × (边长/2)

从上面的 "tan" 公式,我们知道:边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n)

因此:

  小三角形面积:= ½ × 边心距 × (边心距 × tan(π/n)) = ½ × 边心距2 × tan(π/n)

  每边有两个这样的三角形,总共有 2n 个:

  多边形面积 = n × 边心距2 × tan(π/n)

  如果我们不知道边心距,我们可以用同一个公式,但以半径或者边长为变量:

  多边形面积 = ½ × n × 半径2 × sin(2 × π/n)

  多边形面积 = ¼ × n × 边长2 / tan(π/n)

数值列表

这是不同多边形的边长、边心距和面积的值(半径为 "1"):

20201208154704.png

(注意:数值精确到三位小数)

20201208154811.png

这是上面列表的图,边个数从 3 到 30。留意当 "n" 越来越大,边心距趋近 1(等于半径),面积趋近 π = 3.14159……和圆形一样,边长趋近什么?

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点这里查看与之相关的计算

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